Постановка задачі теплопровідності

Задача про розповсюдження тепла. Рівняння теплопровідності

Розповсюдження тепла

Лекція 6

Контрольні запитання

5.1 У чому полягає постановка для розв’язування задачі про поздовжні коливання стержня?

5.2 У чому полягає суть методу Фур’є для розв’язування задач про поздовжні коливання стержня?

5.3 У чому особливість методу Фур’є стосовно вимог до крайових умов?

Розглянемо задачу про розповсюдження тепла в нерівномірно нагрітому тілі V, обмеженому поверхнею S. У цьому випадку виникають теплові потоки від ділянок з вищою температурою до ділянок з нижчою. Тобто відбувається перерозподіл тепла.

За величину, що характеризує даний процес, візьмемо функцію , яка визначає температуру в будь-якій точці M (x,y,z) у будь-який момент часу t.

При побудові математичної моделі зробимо наступні припущення стосовно фізичних властивостей тіла:

1) тілооднорідне;

2) ізотропне;

3) у тілі відбувається механічний перенос тепла від більш нагрітих ділянок до менш нагрітих;

4) усе тепло йде на зміну температури тіла;

5) властивості тіла від температури не залежать.

Щоб вивести рівняння теплопровідності достатньо скласти рівняння теплового балансу, яке запишемо так:

(6.1)

Визначимо всі складові цього рівняння.

1) – це кількість тепла, що проходить через поверхню за деякий час ∆t. Для визначення скористаємося експериментальним законом Фур’є, згідно з яким елементарна кількість тепла , що проходить через елементарну частину поверхні у напрямку внутрішньої нормалі до неї за одиницю часу, дорівнюватиме де k – коефіцієнт внутрішньої теплопровідності, k>0, розмірність.

Вважаємо, що коефіцієнт k не залежить від напряму нормалі. Щоб визначити всю кількість тепла, що проходить через поверхню за час ∆t, достатньо вираз, що визначає елементарну кількість тепла , проінтегрувати по цій поверхні і домножити на ∆t:

Нехай вектортоді

Тоді

використовуючи формулу Остроградського по відношенню до вибраного елемента ω з внутрішньою нормаллю до поверхні , маємо

.

Звідси

. (6.2)

2) – це кількість тепла, що виділяється (поглинається) джерелами (якщо вони є), розподіленими в об’ємі ω за деяким законом. Позначимо через f(M,t) питому потужність джерела в точці M (x,y,z) у момент часу t (аналог інтенсивності зовнішніх сил в задачах на коливання). Тоді елементарна кількість тепла за одиницю часу буде

Вся кількість тепла за час ∆ t:

. (6.3)

3) – уся кількість тепла, що йде на зміну температури в будь якій точці М за деякий час ∆ t, може бути визначена за законом Ньютона [2], згідно якого елементарна кількість тепла прямо пропорційна зміні температури ∆U за час ∆t і масі елементарної частини ρdω та дорівнюватиме де С – питома теплоємність матеріалу тіла, розмірність ; ρ – густина.

Звідси . (6.4)

враховуючи рівності (6.1) – (6.4), запишемо рівняння теплового балансу

Або

(6.5)

Згідно з основною лемою математичної фізики якщо підінтегральна функція неперервна та інтеграл по довільній області ω дорівнює нулю, то і сама функція також дорівнює нулю. Отже,

.

Поділимо на C ρ ∆t і перейдемо до границі при

.

Або

де ; .

Якщо врахувати, що

.

то отримаємо

. (6.6)

Це тривимірна модель розповсюдження тепла у тілі , або просторове рівняння теплопровідності. тут М – точка M (x,y,z).

Очевидно, що двовимірна модель буде мати вигляд:

(6.7)

яка описує розповсюдження тепла в дуже тонкій (плоскій) пластині . Тут М – точка M (x,y).

І одновимірна модель:

(6.8)

Це рівняння теплопровідності для прямолінійного тонкого стержня (один характерний розмір – довжина). Тут М – точка з однією координатою . Саме з цим рівнянням ми і будемо далі працювати. Зауважимо, що в силу зроблених нами припущень величини сталі. Також вважаємо, що бічна поверхня стержня теплоізольована.

Проаналізуємо рівняння теплопровідності (6.8):

; .

Тут x – просторова координата, t – час, U (x,t) – температура в точці з координатою х в момент часу t.

Якщо зафіксувати , то отримаємо – закон, за яким змінюється температура в точці , якщо зафіксувати час ,то отримаємо – розподіл температур у стержні в момент часу .

Вільний член F (x,t) характеризує наявність джерел тепла в стержні. Якщо їх нема, то F (x,t) = 0 і рівняння теплопровідності набуває простого вигляду

(6.9)

Із фізичних міркувань випливає, що для однозначного визначення температури в стержні довжиною , крім рівняння теплопровідності, необхідно задати додаткові три умови, які складаються з однієї початкової і двох крайових.

Початкова умова для рівняння теплопровідності задає розподіл температур у всіх точках стержня в деякий момент часу, який приймаємо за початковий . Початковий розподіл температур має вигляд:

П.У. U (x,0) =u|_t=0 = φ(х), (6.10)

де φ(х) – задана функція для всіх .

Крайові умови мають виконуватись там, де стержень може мати теплообмін з навколишнім середовищем, тобто на торцях стержня.

Нехай стержень лежить на осі Ох і один його кінець збігається з початком координат (), а другий має абсцису .

Крайові умови відображають тепловий режим на кінцях стержня і можуть задаватися по-різному. Розглянемо деякі з них. Нехай на кінцях стержня підтримується стала температура – на кінці і на кінці .

К.У. (6.11)

де – задані числа (можуть бути і нулі).

Запишемо загальніші граничні умови. використовуючи закон Ньютона, запишемо тепловий потік Р, що проходить через одиницю площі за одиницю часу пропорційно зміні температури на торці стержня:

, (6.12)

де h – коефіцієнт зовнішньої теплопровідності або коефіцієнт теплообміну, – температура на кінці стержня, – температура навколишнього середовища поблизу цього кінця.

При цьому потік вважається додатним, якщо тобто іде процес охолодження стержня. Отже, функція – спадна. А згідно з законом Фур’є цей самий потік пропорційний швидкості зміни температури в напрямку нормалі до торця:

(6.13)

Оскільки вектор нормалі паралельний до осі Ох, то для правого кінця потік буде:

a на лівому:

Тепер запишемо умови на лівому і правому кінцях стержня:

Г.У. . (6.14)

Тут , – задані температури навколишнього середовища поблизу відповідних кінців. Оскільки кінці стержня можуть знаходитися в різних середовищах, то сталі взято різними.

Розглянемо окремі випадки:

1) Нехай коефіцієнт теплообміну , тоді крайова умова

К.У. (6.15)

означає, що кінець стержня теплоізольований.

2) Нехай значення коефіцієнт теплообміну дуже велике. Тоді, наприклад, для лівого кінця маємо:

, (6.16)

і, переходячи до границі при , отримаємо крайову умову

К.У. (6.17)

що означає вільний теплообмін з навколишнім середовищем на кінці х= 0. Фактично, це те саме, що розглядалося в першому типі крайових умов.

3) На кінці стержня, не уточнюючи на якому, задається потік, як функція часу

(6.18)

Рисунок 6.1 – початковий розподіл температур

Приклад 6.1 Поставити задачу про розповсюдження тепла в стержні, один кінець якого теплоізольваний, а на другому підтримується стала температура T, причому в момент часу t= 0 розподіл температур у стержні мав вигляд частини параболи з вершиною в початку координат, як зображено на рисунку 6.1.

Опишемо графік аналітично: . визначаємо коефіцієнт з того, що точка (l, T) задовольняє рівняння параболи. Отже, Тоді рівняння параболи має вигляд

Постановка задачі включає в себе написання рівняння теплопровідності, початкової та граничних умов

, ,

П.У. К.У.

Розв’язком цієї задачі є функція , яка задовольняє в указаній області рівняння теплопровідності, а також початкову і крайові умови.

Дата добавления: 2013-12-14