Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Задачи о нахождении наибольших и наименьших значений функций одного переменного


Доверь свою работу кандидату наук!
1500+ квалифицированных специалистов готовы вам помочь

Задача 1.Владелец грузового судна должен перевезти груз по реке из одного порта в другой. Расходы этого владельца складываются из расходов на содержание экипажа и из затрат на топливо. Следует выяснить, какую скорость движения судна следует выбрать, чтобы плавание было наиболее экономичным, так как увеличение скорости ведет к большим тратам на топливо (расходы на топливо пропорциональны кубу скорости), а уменьшение скорости, а значит, увеличение времени пути приведет к большим тратам на питание команды.

Решение. Обозначим суточные расходы на топливо , а суточные расходы на питание команды . Пусть – расстояние, которое должна пройти баржа. Тогда время в пути равно . Следовательно, путевые расходы составляют .

Нам нужно найти такое положительное значение , которое обеспечит минимум введенной функции. Используя теорему о необходимом условии экстремума, приравняем нулю производную введенной функции: . Получим точку экстремума . То, что мы получили минимум, а не максимум, следует из поведения функции при значениях переменной , близких к 0 и к бесконечности: функция при таких значениях переменной стремится к положительной бесконечности. Следовательно, единственный экстремум этой функции может быть только минимумом. Таким образом, оптимальная скорость движения баржи по реке .

 

Задача 2. У слесаря есть жестяной диск. Какой сектор следует вырезать из этого диска, чтобы из оставшейся части диска можно было свернуть воронку наибольшей вместимости?

Р е ш е н и е. Очевидно, что сектор определяется углом при вершине. Обозначим этот угол . Известно, что объем конуса (воронки) равен, в соответствии с введенными обозначениями, . Выразим через радиус основания конуса , сравнив площадь оставшейся части диска и площадь боковой поверхности конуса. Площадь оставшейся части диска равна . Площадь боковой поверхности конуса равна . Из соотношения получим . Следовательно, . Вследствие громоздкости полученного выражения перейдем к новой переменной . Теперь . Найдем критическую точку этой функции на отрезке [0,1], именно она является точкой максимума, так как на концах отрезка функция обращается в нуль. Критической точкой является . Следовательно, угол при вершине сектора, который нужно вырезать, равен .



Задачи для самостоятельного решения.

 

1. Сеткой длиной 120 м нужно огородить прилегающую к дому прямоугольную площадку наибольшей площади.

2. Из квадратного листа картона со стороной вырезаются по углам одинаковые квадраты, и из оставшейся части склеивается прямоугольная коробка. Какова должна быть сторона вырезаемого квадрата, чтобы объем коробки был наибольшим?

3. Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном объемом так, чтобы на облицовку его стен и дна пошло наименьшее количество материала.

4. При каких линейных размерах закрытая цилиндрическая банка данной вместимости будет иметь наименьшую полную поверхность?

5. Из круглого бревна диаметра вытесывается балка с прямоугольным поперечным сечением, основание которого равно , высота . При каких размерах балка будет иметь наибольшую прочность, если прочность ее пропорциональна ?

6. Завод отстоит от железной дороги, идущей с юга на север и проходящей через город , считая по кратчайшему расстоянию, на

км. Под каким углом к железной дороге следует построить

подъездной путь от завода, чтобы транспортировка грузов из в

была наиболее экономичной, если стоимость провоза тонны груза на

расстояние 1 км составляет по подъездному пути руб., а по

железной дороге руб. () и город расположен на км

севернее завода ?

7. К каналу ширины подходит под прямым углом канал ширины .

Бревна какой наибольшей длины можно сплавлять по этой системе

каналов?

8. При каких размерах открытая цилиндрическая ванна с полукруглым

поперечным сечением, поверхность которой равна , имеет

наибольшую вместимость?

 

 

В предложенных задачах присутствуют параметры. В том случае, когда исследуемая функция не содержит параметров, легко найти наибольшие и наименьшие значения с помощью графика. В настоящее время в связи с наличием пакетов компьютерных программ нет необходимости строить графики вручную. Так, пакет программ MAXIMA мгновенно рисует графики явно заданных функций с помощью команды plot2d. Например, при решении задачи 1 для самостоятельного решения следовало найти наибольшее значение функции . Поскольку , построим график функции на отрезке с помощью команды plot2d((120-2*h)*h,[h,0,60]), набрав эту команду и нажав Shift+Enter. Мы получим график вида

В соответствии с этим графиком максимальное значение функции достигается при .

 

Поможем в написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой
<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Асимптоты кривой | Тема.1.1. Эволюция

Дата добавления: 2013-12-14; Просмотров: 1206; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:

  1. Автономия воли субъектов правоотношения как источник международного частного права
  2. Анализ положений ФЗ «О ТЭД» на предмет соответствия нормам международного права
  3. Архитектура хэш-функций
  4. Асимптоты графиков функций
  5. Базовый набор специальных функций управления и управленческих работ при выполнении СМР в аппарате генподрядчика
  6. БЕЗОПАСНОСТЬ МЕЖДУНАРОДНОГО ТУРИЗМА КАК ГЛАВНЕЙШЕЕ ЕГО УСЛОВИЕ
  7. В большинстве случаев, зная распределение яркостных и цвето- разностных данных одного кадра, можно с высокой вероятностью предсказать их распределение в ближайшем соседнем кадре.
  8. В зависимости от типа формулы она может состоять из одного или нескольких из указанных ниже элементов.
  9. В зависимости от характера полномочий, определяющих роль государственных служащих в осуществлении государственно-властных функций.
  10. В процессе межличностной коммуникации осуществляется взаимодействие одного человека с другим или с группой.
  11. В рамках одного севооборота
  12. В.1. Задачи, приводящие к производной.

studopedia.su - Студопедия (2013 - 2022) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.022 сек.