Асимптоты кривой

Пример.

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Следует отличать минимумы и максимумы функций от наибольшего и наименьшего ее значений на заданном отрезке. Функция может не иметь экстремумов в исследуемой области, а наименьшее и наибольшее в этой области значения она имеет всегда.

Чтобы определить наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке, необходимо подсчитать значения функции в точках экстремума, входящих в исследуемую область, а также в граничных ее точках и выбрать среди них наименьшее и наибольшее значения.

Определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Находим точки, в которых производная обращается в нуль:

, получаем две точки, одна из которых не входит в исследуемую область, добавляем к ним граничные точки, тогда .

Определяем в этих точках значения функции .

Таким образом, наименьшее в заданной области значение функции реализуется при , наибольшее при .

Задача о нахождении наибольшего и наименьшего значений функции одного вещественного переменного на отрезке с развитием компьютерных технологий перестает быть очень актуальной. С помощью программ MAXIMA мы можем легко построить график исследуемой функции и найти на нем все интересующие нас точки. Для того, чтобы построить график функции на отрезке [1,4], следует ввести команду plot2d(x^3-3*x^2+1,[x,1,4]) и нажать Shift+Enter.

graph.wxm

Определение. Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки M кривой до этой прямой при удалении точки M в бесконечность стремится к нулю.

На двух следующих рисунках асимптоты окрашены в красный цвет

Асимптоты бывают вертикальными, они показывают поведение функции в окрестности особой точки, когда , и наклонными, дающими представление о поведении функции при .

Если особая точка, уравнение вертикальной асимптоты .

Теорема. Кривая имеет наклонную асимптоту при , уравнение которой , если существуют пределы: и .

Доказательство. Из определения асимптоты следует , где бесконечно малая при , то есть . Остается определить параметры уравнения асимптоты. Для этого вычислим , . Итак, если оба предела существуют и конечны, параметры прямой и определены, причем точки этой прямой бесконечно сближаются с точками кривой при .

Пример. . Ясно, что – уравнение вертикальной асимптоты.

Определим ,

.

Наклонная асимптота при имеет уравнение .

Дата добавления: 2013-12-14