Общие свойства сил инерции

Из последнего свойства следует, что под действием сил инерции в рамках данной неинерциальной системе отчета все тела приобретают одинаковые ускорения.

Рассмотрим силы инерции подробнее.

Рис.2

Поскольку при поступательном движении системы отсчета все ее точки движутся с одной скоростью и, следовательно, имеют одно и то же ускорение, силовое поле поступательной силы инерции является однородным, т.е. напряженность этого поля (сила, действующая на тело единичной массы) не зависит от места расположения тела и его скорости.

Центробежная сила инерции. Центробежная сила инерции действует на тело только во вращающейся системе отсчета (при условии). Вектор ортогонален оси вращения и направлен вдоль вектора (см. рис. 1).

Пример. Центробежная сила, действующая на тело вблизи поверхности Земли, обусловлена суточным вращением Земли вокруг своей оси (рис. 3). Эта сила направлена ортогонально земной оси, т.е. ортогонально вектору. Величина силы равна

Здесь – угловая скорость вращения земли вокруг собственной оси, - широта местности на поверхности Земли, где расположено тело массы, - радиус Земли, - радиус окружности, которую описывает в процессе вращения Земли та точка земной поверхности, в которой в данный момент находится тело (рис. 3).

Рис. 3

Если тело, расположенное вблизи поверхности Земли неподвижно относительно нее, то на него в системе отсчета, связанной с Землей действуют две силы: рассмотренная центробежная сила инерции и сила гравитационного притяжения Земли, направленная к центру Земли и равная по величине

- напряженность гравитационного поля Земли в точке нахождения тела.

Величина ускорения свободного падающего вблизи поверхности Земли тела определяются с помощью уравнения движения тела в неинерциальной системе отсчета. В пренебрежении силой инерции Кориолиса

Из полученной формулы следует, что центробежная сила изменяет положения отвеса и величину ускорения свободного падения.

Везде, кроме экватора и полюса, благодаря наличию центробежной силы вектор не направлен к центру Земли (см. рис. 3). Поскольку величина центробежной силы меняется при перемещении по поверхности Земли от экватора к полюсу, направление и модуль вектора зависят от широты местности, где расположено тело.

Для сферически-симметричной Земли, радиуса R, угол () отклонения направления отвеса от радиального направления определяется выражением (см. рис.)

На экваторе и полюсе () угол обращается в нуль. Для реальной (сплюснутой у полюсов) Земли, полученная формула хотя и приближенна, но достаточно точна.

На экваторе векторы и направлены противоположно друг другу, поэтому значение ускорения свободного падения минимально и равно. Вычисления показывают, что величина центробежной силы на экваторе составляет примерно % от значения гравитационной силы. Соответственно, величина на экваторе на % меньше значения, которое наблюдалось бы в отсутствии вращения Земли. На полюсе центробежная сила равна нулю. Здесь ускорение свободного падения определяется только гравитационной силой притяжения Земли и должно составлять. Однако экспериментально измеренное значение свободного ускорения на полюсе равно. Это различие обусловлено тем, что Земля не является шарообразным телом: она представляет собой геоид – аксиально-симметричное тело, сплюснутое вдоль полюсов. Благодаря этому, при продвижении вдоль меридиана от экватора к полюсам, величина ускорения свободного падения возрастает не только за счет ослабления влияния центробежной силы, но и за счет увеличения самой гравитационной силы притяжения Земли. Этот последний вклад в увеличение экваториального значения составляет примерно % (). Таким образом, общее увеличение величина составляет приблизительно % ().

Сила Кориолиса. Сила инерции Кориолиса возникает в случае, если тело движется с отличной от нуля скоростью в неинерциальной системе отсчета, вращающейся относительно инерциальной системы со скоростью. Сила Кориолиса определяется выражением

Сила Кориолиса ортогональна как вектору скорости движения тела, так и вектору угловой скорости вращения системы. Наличием силы Кориолиса объясняется отклонение к востоку свободно падающих тел, размывов правых берегов текущих к северу рек и другие эффекты.

Пример 1. Поезд массой движется со скоростью вдоль меридиана в направлении с севера на юг. Широта местности равна. Найдем силу бокового давления, с которой поезд действует на рельсы (см. рис.). Сила бокового давления возникает за счет действующей на поезд силы Кориолиса, величина которой равна:

где - угловая скорость суточного вращения Земли. Сила бокового давления, действующая на поезд со стороны рельс, уравновешивает сил Кориолиса.

Пример 2. Река течет со скоростью. При каком радиусе кривизны излучины реки сила Кориолиса, обусловленная суточным вращением Земли, больше центробежной силы, определяемой поворотом реки?

Решение.

Для средних широт ():

Полученное соотношение объясняет, почему большие реки Северного полушария (сибирские реки или Волга в среднем течении) подмывают в основном правый по своему течению берег (преобладает сила Кориолиса), в то время как мелкие извилистые реки с крутыми излучинами малого радиуса кривизны подмывают попеременно, то левый, то правый (внешний по излучине) берег (преобладает центробежная сила).

Отметим, что сила Кориолиса на Земле всегда действует в правую сторонуотносительно направления движения тела.

Динамическая модель тела, движущегося вблизи поверхности земли. Система отсчета, связанная с Землей движется поступательно под действием сил гравитационного взаимодействия с другими космическими телами (прежде всего, Луной и Солнцем) и испытывает суточное вращение. При моделировании формы Земли шаром со сферически симметричным распределением плотности, ось вращения совпадает с полярной осью Земли. Благодаря суточному вращению, все тела на Земле испытывают действие центробежной силы, а движущиеся относительно Земли тела - еще и действие силы Кориолиса. Поступательная сила инерции, действующая на тело в системе отсчета, связанной с Землей (геоцентрической системе)

Здесь - ускорение поступательного движения Земли, которое она приобретает вследствие гравитационного взаимодействия с другими космическими телами: Луной, Солнцем и пр. С другой стороны движущееся в геоцентрической системе тело также испытывает гравитационное воздействие этих тел, которое сообщает телу ускорение. Если расстояние тела до центра Земли значительно меньше его расстояния до других космических объектов, то различием в ускорениях и можно пренебречь, положив:. Другими словами, вдали от космических тел, создаваемое ими гравитационное поле можно считать однородным и, следовательно ускорения, приобретаемые всеми телами в таком поле, считать одинаковыми. В этом приближении поступательная сила инерции, действующая на тело в геоцентрической системе отсчета, полностью нейтрализует гравитационную силу, действующую на тело со стороны других (удаленных от Земли) космических тел:

В результате динамическое уравнение движения тела относительно Земли принимает вид

где - ускорение тела, приобретаемое им в результате гравитационного взаимодействия с Землей:.

Вес тела. Состояние невесомости. Вес тела определяется силой, с которой тело давит на подставку весов или растягивает пружину весов. Величина этой силы уравновешивает все другие силы, в результате чего тело находится в состоянии покоя. Таким образом, поскольку, вес тела на Земле равен

где - угловая скорость суточного вращения Земли: рад/с.

Перейдем в систему, связанную с космическим кораблем, движущимся с выключенными двигателями в относительной близости к поверхности земли. В этих условиях корабль в каждый момент времени просто «падает на Землю» с ускорением, равным напряженности гравитационного поля Земли в точке нахождения корабля. Для системы, связанной с кораблем, Земля теперь является таким же «внешним космическим телом», какими служили Луна и Солнце. Следовательно, если поступательное движение корабля полностью определяется его гравитационным взаимодействием с космическими телами (двигатели выключены!), то сила инерции этого движения полностью нейтрализует данное взаимодействие внутри корабля (относительно малые размеры корабля позволяют считать постоянным гравитационное поле внутри него). В результате, пренебрегая ничтожно малым гравитационным воздействием, создаваемым, самим кораблем, получаем, что вес тела в рассматриваемом корабле равен центробежной силе, порождаемой вращением корабля вокруг своей оси, и при отсутствии этого вращения – обращается в нуль. Тело в таком корабле не давит на подставку и не растягивает пружину. Такое состояние тела называется состоянием невесомости. Естественно, все наши рассуждения справедливы только при условии равенства инертной и гравитационной масс (поскольку силы инерции пропорциональны инертной массе, и силы гравитационного взаимодействия – гравитационной массе). Поэтому существование состояния невесомости является одним из наиболее убедительных доказательств идентичности этих масс.

При наличии вращения корабля вокруг своей оси появляется «дополнительная тяжесть» равная центробежной силе инерции, обусловленной этим вращением. Ускорение корабля относительно Земли, создаваемое включенными двигателями, порождает для тел, находящихся внутри корабля, дополнительную силу инерции поступательного движения, «утяжеляющую» эти тела. В результате космонавты испытывают, так называемое, состояние «перегрузки».

Принцип эквивалентности сил тяготения и сил инерции. Характерным свойством сил инерции, в частности, поступательной силы инерции, является их пропорциональность массе тела. Таким же свойством по отношению к массе тела обладают и гравитационные силы. Благодаря этому свойству силы инерции в определенных ситуациях оказываются похожими на силы инерции.

Представим себе, что мы находимся в удаленной от всех внешних тел, в том числе и от Земли, закрытой кабине, которая движется с ускорением (ускорением свободного падения вблизи поверхности Земли) в направлении вверх относительно самой кабины (см. рис.). Все тела внутри кабины будут вести себя так же, как если бы на них действовала направленная вниз сила - поступательная сила инерции, обусловленная движением кабины. В частности, пружина, на которой подвешено тело массы, растянется так, чтобы уравновесить эту силу инерции:

где -жесткость пружины, - величина удлинения пружины.

Поведение тел будет точно таким же, как если бы кабина была неподвижной, но находилась вблизи поверхности Земли, где все тела испытывали бы воздействие однородного гравитационного поля напряженностью. Находящиеся внутри кабины наблюдатели не смогли бы различить две ситуации: испытывают влияние сил инерции, или же влияние эквивалентного гравитационного поля. Экстраполяция этого примера на общий случай приводит к принципу эквивалентности сил инерции и сил тяготения - их физической неразличимости.

Принцип эквивалентности сил инерции и сил тяготения состоит в том, что все явления в однородном гравитационном поле происходят точно так же, как в однородном поле сил инерции. Этот принцип был положен Эйнштейном в основу общей теории относительности.

Существенно, что принцип эквивалентности носит локальный характер, т.е. справедлив только в ограниченной («достаточно малой») области пространства. Действительно, между силами инерции и гравитационными силами имеется существенное отличие в отношении их свойств на бесконечности. На бесконечном расстоянии от создающих поле тел "истинное" гравитационное поле всегда стремится к нулю. Поля же, которым эквивалентны неинерциальные системы отсчета, на бесконечности, напротив, неограниченно возрастают или, в крайнем случае, остаются конечными по величине. Так, например, возникающие во вращающейся системе отсчета центробежные силы неограниченно растут при удалении от оси вращения; поле, которому эквивалентна ускоренно прямолинейно движущаяся система отсчета, одинаково во всем пространстве, в том числе и на бесконечности.

С другой стороны, поля, которым эквивалентны неинерциальные системы отсчета, исчезают, как только мы перейдем к инерциальной системе. В противоположность этому, "истинные" гравитационные поля (существующие и в инерциальной системе отсчета) невозможно исключить никаким выбором инерциальной системы отсчета. Единственное, чего можно достичь надлежащим выбором системы отсчета, это исключения гравитационного поля в данном участке пространства, достаточно малом для того, чтобы в нем можно было считать гравитационное поле однородным. Это можно сделать путем выбора ускоренно движущейся системы, ускорение которой было бы равно тому ускорению, которое приобретает частица, помещенная в рассматриваемом участке гравитационного поля.

Экспериментальная проверка принципа эквивалентности. Инерционную массу тела можно определить как отношение величины действующей на тело силы к величине ускорения, которое приобретает тело под действием этой силы

Два тела находящиеся в однородном гравитационном поле, испытывают со стороны него силу, пропорциональную их гравитационным массам:

Отсюда следует, что отношение ускорений, приобретаемые телами в однородном гравитационном поле равно:

При условии пропорциональности инертной и гравитационной масс, ускорения, приобретаемые телами в однородном гравитационном поле равны друг другу:

Принцип эквивалентности опирается на пропорциональность инертной и гравитационной масс. Для значения гравитационной постоянной эти массы равны друг другу. Реализация состояния невесомости – наиболее наглядное доказательство этого равенства. Наряду с фундаментальным физическим значением принцип эквивалентности, следствием которого является независимость ускорения от массы тела, имеет и большое практическое значение. Разница в инертной и гравитационной массах сделала бы невозможной космические полеты. Разные части корабля подвергались бы действию различных ускорений, возникали бы перегрузки, напряжения и т.д.

Многие ученые, начиная с самого И.Ньютона, ставили эксперименты, направленные на подтверждение равенства инертной и гравитационной масс. К настоящему времени установлено, что массы равны друг другу и с точностью, не меньшей чем, т.е..

Опыты Ньютона и Бесселя. В основу этих опытов положено сравнение периодов колебаний маятников, сделанных из разных материалом, но имеющих один и тот же вес:. Период малых колебаний

Опыт Этвеша. Венгерский ученый -аристократ, барон Лоранд (Роланд) фон Этвеш четверть века посвятил постановки таких опытов. Род баронов фон Этвеш оставил заметный след в истории Венгрии. Лоранд (Роланд) барон фон Этвеш (Eötvös) (27. 7, 1848, Будапешт, — 8. 4. 1919, там же), венгерский физик, член (1883) и президент (с 1889) Венгерской АН был сыном Венгерского писателя и политика Иожефа Этвеша. Учился в Будапештском, Кенигсбергском и Гейдельбергском (окончил в 1870) университетах. С 1871 работал в Будапештском университете (с 1872 профессор). В 1894—1895 был министром просвещения Венгрии. Изучая явления капиллярности, в 1886 сформулировал зависимость силы поверхностного натяжения от температуры. С 1890 занимался проблемами земного магнетизма и гравитации. Изобрел гравитационный вариометр, получивший применение в разведке полезных ископаемых. Доказал равенство инертной и гравитационной масс (с точностью ~10^—8). Установил, что вес тел на движущихся объектах зависит от скорости и направления движения (вследствие вращения Земли; эффект Этвеша). Именем Этвеша названа единица измерения ускорения силы тяжести (этвеш).

Опыты Этвеша, начатые в 1890 г. и продолжавшиеся около 25 лет. Рассмотрим сначала поведение маятника, подвешенного у поверхности Земли на широте 45^° (см. рис.).

Величина угла отклонения маятника от направления местной вертикали:

Предположим теперь, что крутильный подвес состоит из двух шариков, сделанных из различного материала, но одинаковой гравитационной массы. Стержень

устанавливается перпендикулярно меридиану места проведения опыта (т.е. в восточно-западном направлении). Если то под действием неуравновешенных центробежных сил (горизонтальная компонента) крутильная нить будет закручиваться. Измерение повторяется после поворота прибора на 180^°. Это позволяет определить нулевое положение весов. Данный метод — характерный пример нулевого метода измерений: эффект наблюдается только при.

Этвеш произвел сравнение восьми разных материалов с платиной, принятой за эталон. Он установил, что с относительной ошибкой менее 10^–8отношение инертной и гравитационной масс всех тел такое же, как у платины:

Опыты Р. Дикке (1961-1964 гг.) подтвердили равенство обоих видов масс с точностью до 10^–10. В эксперментах Этвеша были задействованы две силы: центробежная сила инерции суточного вращения Земли и гравитационная сила притяжения к Земле. Обе силы неустранимы в земных условиях и потому не поддаются регулированию. Дикке усовершенствовал методику эксперимента, задействовав в нем две другие силы: гравитационную силу Солнца и силу инерции поступательного движения Земли вокруг Солнца. В условиях равенства инертной гравитационной масс эти силы нейтрализуют друг друга и потому не должны сказываться на поведении тел вблизи земной поверхности.

Для верификации эквивалентности инертной и гравитационной масс Р. Дикке использовал то же устройство, что и Л.Этвеш: два груза равной массы, но сделанные из разных материалов закреплялись на концах легкого коромысла, подвешенного на тонкой (кварцевой) нити (см. рис.). Для максимального уменьшения влияния посторонних факторов устройство помещалось в сосуд с высоким вакуумом и устанавливалось в глубокой шахте, температура в которой поддерживалась постоянной. Показания прибора снимались дистанционно в течении нескольких месяцев.

Если бы закон пропорциональности инертной и гравитационных масс был нарушен, оба груза увлекались бы Солнцем с разной силой. В результате должен возникнуть момент силы, закручивающий коромысло. На восходе и закате этот момент достигал бы максимальной величины, равной, где - плечи коромысла.

В результате передвижения Солнца относительно Земли повороты коромысла должны были бы иметь характер регулярных колебаний. Однако при обработке результатов наблюдений таких колебаний обнаружено не было. Отсюда следует, что в пределах относительно точности эксперимента ().

Дата добавления: 2013-12-13