Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Условия устойчивости линейных систем автоматического уравнения

Дифференциальное уравнение линейной системы автоматического уравнения, записанное для регулируемой выходной величины x(t) при наличии управляющего воздействия g(t) имеет вид:

 

(a0pn +a1pn-1+...+an)x(t)=(b0pm+b1pm-1+...+bm)(g)t (*)

 

где a0,a1,...,an и b0,b1,...bm - постоянные коэффициенты

p= d/dt - оператор дифференцирования

 

Из него путем ряда преобразований можно получить характеристическое уравнение.

a0sn + a1sn-1+...+an=0 (**)

 

Нетрудно заметить, что левая часть уравнения (**) совпадает с дифференциальным оператором при выходной величине в уравнении (*).

Поэтому характеристическое уравнение получают приравняв этот оператор при выходной величине в исходном дифференциальном уравнении к нулю:

 

a0pn+a1 pn-1 +...+an =0 и заменив p=s

 

Решение этого уравнения содержит n корней.

 

В общем случае корни характеристического уравнения:

Si= Li+jwi; Li - вещественная часть;

wi – мнимая часть;

Корни с отрицательными вещественными частями называют левыми, с положительными вещественными частями – правыми.

 

Условие устойчивости линейной системы:

Для того, чтобы линейная система была асимптотически устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения были левыми.

 

Критерии устойчивости.

 

Критерии устойчивости – это правила, которые позволяют определять устойчивость системы без вычисления корней. С их помощью можно установить устойчива система или нет, как влияют на устойчивость те или иные параметры и структурные изменения в системе.

Критерии устойчивости делятся на:

-алгебраические

-частотные.

 

Алгебраические критерии устойчивости

-Рауса

-Гурвица

-Льенара-Шипара

Частотные критерии устойчивости:

-Михайлова

-Найквиста

 

Алгебраические критерии устойчивости

 

Алгебраические критерии устойчивости позволяют судить об устойчивости системы по коэффициентам характеристического уравнения:

 

D(S) = a0 sn + a1 sn-1 +... + an = 0

Необходимым условием устойчивости системы любого порядка является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения:

 

a0 > 0; a1 > 0;...; an > 0

 

Для систем первого и второго порядков необходимое условие устойчивости является и достаточным условием устойчивости.

Из алгебраических критериев устойчивости наиболее широкое распространение получили критерии устойчивости Рауса и Гурвица. Они позволяют по коэффициентам характеристического уравнения без вычисления его корней сделать вывод об устойчивости системы.

 

 

Критерий устойчивости Рауса.

Этот критерий был предложен Э. Раусом в виде некоторого алгоритма, который просто поясняется следующей таблицей:

 

Коэффициент ri Строка i     Столбец (k)
       
-   a0 = c11 a2 = c21 a4 = c31 ...
-   a1 = c12 a3 = c22 a5 = c32 ...
  c13 = a2 – r3a3 c23 = a4 – r4a5 c33 = a6 – r3a7 ...
  c14 = a3 – r4c23 c24 = a5 – r4c33 c34 = a7 – r4c43 ...
  c15 = c­23 – r5c24 c25 = c33 – r5c34 c35 = c43 – r5c44 ...
... ... ... ... ... ...
i c1, i = c2, i-1 – ric2, i-1     ...

 

В первой строке записывают в порядке возрастания индексов коэффициенты характеристического уравнения, имеющие чётный индекс: а0, а2, а4, а6,..., во второй строке – коэффициенты с нечётным индексом: а1, а3, а5, а7,...

Любой из остальных коэффициентов таблицы определяется как:

 

c k, i = c k+1, i-2 – r i c k+1, i-1,

где

Здесь k – индекс, обозначающий номер столбца;

i – индекс, обозначающий номер строки таблицы.

 

Число строк таблицы Рауса равно степени характеристического уравнения плюс единица (n+1).

После того как таблица Рауса заполнится, по ней можно судить об устойчивости системы.

Условие устойчивости Рауса: для того, чтобы система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты первого столбца таблицы Рауса имели один и тот же знак, т.е. при а0 > 0 были положительны:

c11 = a0 > 0; c12 = a1 > 0; c13 > 0;...; c1, n+1 > 0.

 

Если не все коэффициенты первого столбца положительны, то система неустойчива, а число правых корней характеристического уравнения равно числу перемен знака в первом столбце таблицы Рауса.

 

 

Пример.

Дано характеристическое уравнение:

W(S) = s6 + 6s5 +21s4 + 44s3 + 62s2 + 52s + 100 = 0

Определить устойчива ли система.

 

 

Решение.

Составим таблицу Рауса:

 

Коэффициент ri Строка i     Столбец (k)
       
-   a0 = 1 a2 = 21 a4 = 62 a6 = 100
-   a1 = 6 a3 = 44 a5 = 52 a7 = 0
  c13=21-0,167× 44=13,65 c23=62-0,167×52=53,3 c33=100-0,167× 0 = 100  
  c14=44-0,44×53,3=20,6 c24=52-0,44×100=8 c34=0-0,44× 0 = 0  
  c15=53,3-0,68×8=48 c25=100-0,66×0=100    
  c16=8-0,43×100=-35 c26=0-0,43×0=0    
  c17=100-(-1,37)×0=100      

 

Имеется две перемены знака коэффициентов первого столбца: следовательно, система неустойчива, а характеристическое уравнение имеет два правых корня.

Критерий Гурвица.

А. Гурвицем был разработан алгебраический критерий устойчивости в форме определителей, составляемых из коэффициентов характеристического уравнения системы.

Из коэффициентов характеристического уравнения строят сначала главный определитель Гурвица

 

 

по следующему правилу: по главной диагонали слева направо выписывают все коэффициенты характеристического уравнения от а1 до аn в порядке возрастания индексов. Столбцы вверх от главной диагонали дополняют коэффициентами характеристического уравнения с последовательно возрастающими индексами, а столбцы вниз – коэффициентами с последовательно убывающими индексами. На место коэффициентов с индексами больше n и меньше нуля проставляют нули. (n – порядок характеристического уравнения).

Из главного определителя Гурвица получаем определители Гурвица низшего порядка:

 

Δ1 = а1; ; ;...;

Номер определителя Гурвица определяется номером коэффициента по диагонали, для которого составляют данный определитель. Критерий устойчивости Гурвица формулируется так: для того, чтобы система автоматического управления была устойчива необходимо и достаточно, чтобы все определители Гурвица имели знаки, одинаковые со знаком первого коэффициента характеристического уравнения а0, т.е. при а0 > 0 были положительными.

Таким образом, при а0 > 0 для устойчивости системы необходимо и достаточно выполнения следующих условий:

Δ1 = a1 > 0; Δ2 = > 0; Δ3 = > 0;...;

Δn = > 0

Раскрывая определители Гурвица для характеристических уравнений первого, второго, третьего и четвёртого порядка, можно получить следующее условие устойчивости:

1) Для уравнений первого порядка (n = 1), т.е. а0s + a1 = 0, условия устойчивости:

а0 > 0; a1 >0

2) Для уравнений второго порядка (n = 2), т.е. a0s2 + a1s + a2 = 0, условия устойчивости:

а0 > 0; a1 > 0; a2 > 0

3) Для уравнений третьего порядка (n = 3), т.е. a0s3 + a1s2 + a2s + a3 = 0, условия устойчивости:

а0 > 0; a1 > 0; a2 > 0; a3 > 0;

a1a2 – a0a3 > 0

4) Для уравнений четвёртого порядка (n = 4), т.е. a0s4 + a1s3 + a2s2 + a3s + a4 = 0, условия устойчивости:

а0 > 0; a1 > 0; a2 > 0; a3 > 0; а4 > 0;

a3× (a1a2 – a0a3) – a4 > 0

Таким образом, необходимым и достаточным условием устойчивости для систем первого и второго порядков является положительность коэффициентов характеристического уравнения. Для уравнения третьего и четвёртого порядков кроме положительности коэффициентов необходимо соблюдение дополнительных неравенств.

При число дополнительных неравенств возрастает, процесс раскрытия определителей становиться трудоёмким. Поэтому критерий устойчивости обычно применяют при . В последнем столбце главного определителя Гурвица отличен от нуля только один коэффициент an, поэтому

Δn = an× Δn-1

При an > 0 для проверки устойчивости систем достаточно найти только определители Гурвица от Δ1 до Δn-1. Если все определители Гурвица низшего порядка положительны, то система находиться на границе устойчивости, когда главный определитель равен нулю:

Δn = an× Δn-1

Это равенство возможно в двух случаях: an = 0 или Δn-1 = 0. В первом случае система находиться на границе апериодической устойчивости; во втором случае – на границе колебательной устойчивости.

Используя критерий Гурвица, можно при заданных параметрах системы принимать за неизвестный какой-либо один параметр и определить его предельное (критическое) значение, при котором система будет находиться на границе устойчивости.

 

 

Частотные критерии устойчивости.

 

Они позволяют судить об устойчивости систем автоматического управления по виду их частотных характеристик

В основе частотных критериев устойчивости лежит следствие из принципа аргумента.

Пусть дано характеристическое уравнение:

D(S)=a0Sn+a1Sn-1+...an

Его можно представить в виде:

D(S)=a0(S-S1)(S-S2)...(S-Sn)

Где Si= a i+jwi - корни уравнения D(S)=0.

На комплексной плоскости S каждый корень геометрически может быть изображен вектором, проведенным из начала координат к точке Si. Длина этого вектора равна модулю комплексного числа Si, а угол поворота равен аргументу комплексного числа.

 

Пусть уравнение имеет n равных корней. (n-m) - количество левых корней.

 
 

 


Будет справедливо следующее правило:

Изменение (приращение) аргумента D(jw) при изменении частоты w от до равно разности между числом левых и правых корней уравнения D(S)=0, умноженной на n-

При изменении частоты w от нуля до бесконечности изменение аргумента будет в два раза меньше:

 

Критерий устойчивости Михайлова.

Кривая, то есть годограф Михайлова, строится следующим образом. Из знаменателя передаточной функции составляется характеристическое уравнение.

На комплексной плоскости S каждый корень геометрически может быть изображен вектором, проведенным из начала координат к точке Si.

Таким образом, пусть дано характеристическое уравнение. Если подставить в этот полином чисто линейное значение

то получим комплексный полином.

При изменении частоты w вектор D(jw) изменяясь по величине и направлению, будет описывать своим концом в комплексной плоскости

некоторую кривую (годограф Михайлова).

Угол поворота вектора D(jw) вокруг начала координат при изменении частоты w от нуля до бесконечности равен:

Откуда число правых корней полинома D(S), то есть

Таким образом, число правых корней будет равно нулю при условии:

Это условие является необходимым, но не достаточным. Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все n коней характеристического уравнениями были левыми. Иначе говоря, среди них не должно быть корней, лежащих на левой оси и обращающих в ноль комплексный полином, D(jw) то есть должно выполняться еще одно условие:

Таким образом, критерий Михайлова: для того, чтобы система автоматического уравнения была устойчива необходимо и достаточно, чтобы вектор кривой Михайлова D(jw) при изменении w от нуля до бесконечности повернулся, нигде не обращаясь в ноль, вокруг начала координат против часовой стрелки на угол

 

 

Задана следующая кривая (строится по знаменателю передаточной функции)

 
 

 


n=8 – степень характеристического уравнения

 

Определить устойчива ли система.

То есть, была задана некая передаточная функция W(S)=-....

Рассматриваем знаменатель ее D(S)...

Заменяем S=jw. Разбиваем на действительную и мнимую части. Строим график по этому уравнению, разбивая w от 0 до .

 

 

Решение.

 

Обозначим точки пересечения кривой с осями по ходу увеличения величины (от 0 до). Получили точки (1,2,3,4,5,6,7 (в )). При дальнейшем увеличении кривая будет параллельна какой – либо оси.

Рассматривая каждый участок, смотрим как меняется при этом аргумент.

1-2: (поворот вектора против часовой стрелки, т.е. положительный поворот)

меняется от нуля до

2-3: 0 (вектор отклонился и вновь вернулся, т.е. поворот вектора равен нулю)

Рассматривая участки, мы рассматриваем уменьшение частоты от начального до конечного. Разность их - это и есть изменение.

 

3-4: 0

4-5;

5-6;

6-7: (точка 7 в. Сначала угол из точки 6 увеличивается и в точке 7 он будет равен )

 

 
 

Мы нашли изменения угла поворота вектора от 0 до . Сложим углы и получим:

Опять рассмотрим определение устойчивости по Михайлову (вектор должен поворачиваться на угол ).

 

 
 

У нас n=8

 

Значит система неустойчива. Тогда, можем найти число правых корней этой системы (если система неустойчива).

 
 

 

 


Следовательно, система неустойчива и число правых корней равно 2.

 

Критерий Найквиста.

 

Этот критерий позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по виду А-Ф (амплитудно- фазовой) характеристики разомкнутой системы.

 

Если передаточная функция разомкнутой системы

Представляя S=jw получаем частотную передаточную функцию разомкнутой системы.

Если изменить частоту w от до , то вектор будет меняться по величине и фазе. Кривую, описываемую концом этого вектора в комплексной плоскости, называют амплитудно-фазовой характеристикой разомкнутой системы.

 

При каких условиях замкнутая система будет устойчива?

(Она будет устойчива, если разомкнутая система неустойчива и имеет l правых корней.)

Существует 2 способа определения правых корней:

1) Можно считать охваты.

2) Можно использовать правило перехода Ципкина.

 

1) Таким образом, критерий Найквиста: если разомкнутая система автоматического управления неустойчива, то для того чтобы замкнутая система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы А-Ф характеристика разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до охватывала точку(-1; j0) в положительном направлении раз, где– число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

Дана частотная характеристика разомкнутой системы.

  j   4 2 5 3 1 w=0

Будем считать поворот вектора. Расставим точки на пересечении кривой с действительной осью (получилось 6 точек). Будем рассматривать повороты вектора с началом в точке (-1; j0).Получим участки:

1-2: (угол поворота равен )

2-3:

3-4:

4-5: 0 (т. к. Вектор начинает поворачиваться и возвращается в то же положение)

5-6: - (т.к. вектор поворачивается по часовой стрелке)

На основе принципа аргумента изменения угла поворота вектора при изменении частоты от до (только при положительных частотах).

где – число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

Таким образом, в нашем случае

 

-число правых корней

 

Таким образом, вывод: замкнутая система будет устойчива если разомкнутая система будет иметь 2 правых корня.

2) Используя правило Ципкина

  J + + - w=0  

 

Рассмотрим участок от до (-1; j0) и ставим (+) и (-) (положительные, и отрицательные переходы)

Если кривая пересекает действительную ось слева от точки (-1; j0) против часовой стрелки, т. е. сверху вниз, то ставим знак «+». Если по часовой стрелке, т.е. снизу вверх, то ставим знак «-». Подсчитываем количество знаков. У нас получилось +,+,-.

2(+)-1(-)=1/2

Следовательно, система будет устойчива, если разомкнутая система имеет 2 правых корня.

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Теорема Ляпунова | Слизистая оболочка
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2013-12-13; Просмотров: 688; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.103 сек.