Условия устойчивости линейных систем автоматического уравнения

Дифференциальное уравнение линейной системы автоматического уравнения, записанное для регулируемой выходной величины x(t) при наличии управляющего воздействия g(t) имеет вид:

(a₀pⁿ +a₁p^n-1+...+a_n)x(t)=(b₀p^m+b₁p^m-1+...+b_m)(g)t (*)

где a₀,a₁,...,a_n и b₀,b₁,...b_m - постоянные коэффициенты

p= d/dt - оператор дифференцирования

Из него путем ряда преобразований можно получить характеристическое уравнение.

a₀sⁿ + a₁s^n-1+...+a_n=0 (**)

Нетрудно заметить, что левая часть уравнения (**) совпадает с дифференциальным оператором при выходной величине в уравнении (*).

Поэтому характеристическое уравнение получают приравняв этот оператор при выходной величине в исходном дифференциальном уравнении к нулю:

a₀pⁿ+a₁ p^n-1 +...+a_n =0 и заменив p=s

Решение этого уравнения содержит n корней.

В общем случае корни характеристического уравнения:

S_i= L_i+jw_i; L_i - вещественная часть;

w_i – мнимая часть;

Корни с отрицательными вещественными частями называют левыми, с положительными вещественными частями – правыми.

Условие устойчивости линейной системы:

Для того, чтобы линейная система была асимптотически устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения были левыми.

Критерии устойчивости.

Критерии устойчивости – это правила, которые позволяют определять устойчивость системы без вычисления корней. С их помощью можно установить устойчива система или нет, как влияют на устойчивость те или иные параметры и структурные изменения в системе.

Критерии устойчивости делятся на:

-алгебраические

-частотные.

Алгебраические критерии устойчивости

-Рауса

-Гурвица

-Льенара-Шипара

Частотные критерии устойчивости:

-Михайлова

-Найквиста

Алгебраические критерии устойчивости

Алгебраические критерии устойчивости позволяют судить об устойчивости системы по коэффициентам характеристического уравнения:

D(S) = a₀ sⁿ + a₁ s^n-1 +... + a_n = 0

Необходимым условием устойчивости системы любого порядка является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения:

a₀ > 0; a₁ > 0;...; a_n > 0

Для систем первого и второго порядков необходимое условие устойчивости является и достаточным условием устойчивости.

Из алгебраических критериев устойчивости наиболее широкое распространение получили критерии устойчивости Рауса и Гурвица. Они позволяют по коэффициентам характеристического уравнения без вычисления его корней сделать вывод об устойчивости системы.

Критерий устойчивости Рауса.

Этот критерий был предложен Э. Раусом в виде некоторого алгоритма, который просто поясняется следующей таблицей:

Коэффициент ri	Строка i	Столбец (k)
-		a0 = c11	a2 = c21	a4 = c31	...
-		a1 = c12	a3 = c22	a5 = c32	...
		c13 = a2 – r3a3	c23 = a4 – r4a5	c33 = a6 – r3a7	...
		c14 = a3 – r4c23	c24 = a5 – r4c33	c34 = a7 – r4c43	...
		c15 = c­23 – r5c24	c25 = c33 – r5c34	c35 = c43 – r5c44	...
...	...	...	...	...	...
	i	c1, i = c2, i-1 – ric2, i-1			...

В первой строке записывают в порядке возрастания индексов коэффициенты характеристического уравнения, имеющие чётный индекс: а₀, а₂, а₄, а₆,..., во второй строке – коэффициенты с нечётным индексом: а₁, а₃, а₅, а₇,...

Любой из остальных коэффициентов таблицы определяется как:

c _{k, i} = c _{k+1, i-2} – r _i c _{k+1, i-1},

где

Здесь k – индекс, обозначающий номер столбца;

i – индекс, обозначающий номер строки таблицы.

Число строк таблицы Рауса равно степени характеристического уравнения плюс единица (n+1).

После того как таблица Рауса заполнится, по ней можно судить об устойчивости системы.

Условие устойчивости Рауса: для того, чтобы система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты первого столбца таблицы Рауса имели один и тот же знак, т.е. при а₀ > 0 были положительны:

c₁₁ = a₀ > 0; c₁₂ = a₁ > 0; c₁₃ > 0;...; c_{1, n+1} > 0.

Если не все коэффициенты первого столбца положительны, то система неустойчива, а число правых корней характеристического уравнения равно числу перемен знака в первом столбце таблицы Рауса.

Пример.

Дано характеристическое уравнение:

W(S) = s⁶ + 6s⁵ +21s⁴ + 44s³ + 62s² + 52s + 100 = 0

Определить устойчива ли система.

Решение.

Составим таблицу Рауса:

Коэффициент ri	Строка i	Столбец (k)
-		a0 = 1	a2 = 21	a4 = 62	a6 = 100
-		a1 = 6	a3 = 44	a5 = 52	a7 = 0
		c13=21-0,167× 44=13,65	c23=62-0,167×52=53,3	c33=100-0,167× 0 = 100
		c14=44-0,44×53,3=20,6	c24=52-0,44×100=8	c34=0-0,44× 0 = 0
		c15=53,3-0,68×8=48	c25=100-0,66×0=100
		c16=8-0,43×100=-35	c26=0-0,43×0=0
		c17=100-(-1,37)×0=100

Имеется две перемены знака коэффициентов первого столбца: следовательно, система неустойчива, а характеристическое уравнение имеет два правых корня.

Критерий Гурвица.

А. Гурвицем был разработан алгебраический критерий устойчивости в форме определителей, составляемых из коэффициентов характеристического уравнения системы.

Из коэффициентов характеристического уравнения строят сначала главный определитель Гурвица

по следующему правилу: по главной диагонали слева направо выписывают все коэффициенты характеристического уравнения от а₁ до а_n в порядке возрастания индексов. Столбцы вверх от главной диагонали дополняют коэффициентами характеристического уравнения с последовательно возрастающими индексами, а столбцы вниз – коэффициентами с последовательно убывающими индексами. На место коэффициентов с индексами больше n и меньше нуля проставляют нули. (n – порядок характеристического уравнения).

Из главного определителя Гурвица получаем определители Гурвица низшего порядка:

Δ₁ = а₁; ; ;...;

Номер определителя Гурвица определяется номером коэффициента по диагонали, для которого составляют данный определитель. Критерий устойчивости Гурвица формулируется так: для того, чтобы система автоматического управления была устойчива необходимо и достаточно, чтобы все определители Гурвица имели знаки, одинаковые со знаком первого коэффициента характеристического уравнения а₀, т.е. при а₀ > 0 были положительными.

Таким образом, при а₀ > 0 для устойчивости системы необходимо и достаточно выполнения следующих условий:

Δ₁ = a₁ > 0; Δ₂ = > 0; Δ₃ = > 0;...;

Δ_n = > 0

Раскрывая определители Гурвица для характеристических уравнений первого, второго, третьего и четвёртого порядка, можно получить следующее условие устойчивости:

1) Для уравнений первого порядка (n = 1), т.е. а₀s + a₁ = 0, условия устойчивости:

а₀ > 0; a₁ >0

2) Для уравнений второго порядка (n = 2), т.е. a₀s² + a₁s + a₂ = 0, условия устойчивости:

а₀ > 0; a₁ > 0; a₂ > 0

3) Для уравнений третьего порядка (n = 3), т.е. a₀s³ + a₁s² + a₂s + a₃ = 0, условия устойчивости:

а₀ > 0; a₁ > 0; a₂ > 0; a₃ > 0;

a₁a₂ – a₀a₃ > 0

4) Для уравнений четвёртого порядка (n = 4), т.е. a₀s⁴ + a₁s³ + a₂s² + a₃s + a₄ = 0, условия устойчивости:

а₀ > 0; a₁ > 0; a₂ > 0; a₃ > 0; а₄ > 0;

a₃× (a₁a₂ – a₀a₃) – a₄ > 0

Таким образом, необходимым и достаточным условием устойчивости для систем первого и второго порядков является положительность коэффициентов характеристического уравнения. Для уравнения третьего и четвёртого порядков кроме положительности коэффициентов необходимо соблюдение дополнительных неравенств.

При число дополнительных неравенств возрастает, процесс раскрытия определителей становиться трудоёмким. Поэтому критерий устойчивости обычно применяют при . В последнем столбце главного определителя Гурвица отличен от нуля только один коэффициент a_n, поэтому

Δ_n = a_n× Δ_n-1

При a_n > 0 для проверки устойчивости систем достаточно найти только определители Гурвица от Δ₁ до Δ_n-1. Если все определители Гурвица низшего порядка положительны, то система находиться на границе устойчивости, когда главный определитель равен нулю:

Δ_n = a_n× Δ_n-1

Это равенство возможно в двух случаях: a_n = 0 или Δ_n-1 = 0. В первом случае система находиться на границе апериодической устойчивости; во втором случае – на границе колебательной устойчивости.

Используя критерий Гурвица, можно при заданных параметрах системы принимать за неизвестный какой-либо один параметр и определить его предельное (критическое) значение, при котором система будет находиться на границе устойчивости.

Частотные критерии устойчивости.

Они позволяют судить об устойчивости систем автоматического управления по виду их частотных характеристик

В основе частотных критериев устойчивости лежит следствие из принципа аргумента.

Пусть дано характеристическое уравнение:

D(S)=a₀Sⁿ+a₁S^n-1+...a_n

Его можно представить в виде:

D(S)=a₀(S-S₁)(S-S₂)...(S-S_n)

Где S_i= a _i+jw_i - корни уравнения D(S)=0.

На комплексной плоскости S каждый корень геометрически может быть изображен вектором, проведенным из начала координат к точке S_i. Длина этого вектора равна модулю комплексного числа S_i, а угол поворота равен аргументу комплексного числа.

Пусть уравнение имеет n равных корней. (n-m) - количество левых корней.

Будет справедливо следующее правило:

Изменение (приращение) аргумента D(jw) при изменении частоты w от до равно разности между числом левых и правых корней уравнения D(S)=0, умноженной на n^-

При изменении частоты w от нуля до бесконечности изменение аргумента будет в два раза меньше:

Критерий устойчивости Михайлова.

Кривая, то есть годограф Михайлова, строится следующим образом. Из знаменателя передаточной функции составляется характеристическое уравнение.

На комплексной плоскости S каждый корень геометрически может быть изображен вектором, проведенным из начала координат к точке S_i.

Таким образом, пусть дано характеристическое уравнение. Если подставить в этот полином чисто линейное значение

то получим комплексный полином.

При изменении частоты w вектор D(jw) изменяясь по величине и направлению, будет описывать своим концом в комплексной плоскости

некоторую кривую (годограф Михайлова).

Угол поворота вектора D(jw) вокруг начала координат при изменении частоты w от нуля до бесконечности равен:

Откуда число правых корней полинома D(S), то есть

Таким образом, число правых корней будет равно нулю при условии:

Это условие является необходимым, но не достаточным. Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все n коней характеристического уравнениями были левыми. Иначе говоря, среди них не должно быть корней, лежащих на левой оси и обращающих в ноль комплексный полином, D(jw) то есть должно выполняться еще одно условие:

Таким образом, критерий Михайлова: для того, чтобы система автоматического уравнения была устойчива необходимо и достаточно, чтобы вектор кривой Михайлова D(jw) при изменении w от нуля до бесконечности повернулся, нигде не обращаясь в ноль, вокруг начала координат против часовой стрелки на угол

Задана следующая кривая (строится по знаменателю передаточной функции)

n=8 – степень характеристического уравнения

Определить устойчива ли система.

То есть, была задана некая передаточная функция W(S)=-....

Рассматриваем знаменатель ее D(S)...

Заменяем S=jw. Разбиваем на действительную и мнимую части. Строим график по этому уравнению, разбивая w от 0 до .

Решение.

Обозначим точки пересечения кривой с осями по ходу увеличения величины (от 0 до). Получили точки (1,2,3,4,5,6,7 (в )). При дальнейшем увеличении кривая будет параллельна какой – либо оси.

Рассматривая каждый участок, смотрим как меняется при этом аргумент.

1-2: (поворот вектора против часовой стрелки, т.е. положительный поворот)

меняется от нуля до

2-3: 0 (вектор отклонился и вновь вернулся, т.е. поворот вектора равен нулю)

Рассматривая участки, мы рассматриваем уменьшение частоты от начального до конечного. Разность их - это и есть изменение.

3-4: 0

4-5;

5-6;

6-7: (точка 7 в. Сначала угол из точки 6 увеличивается и в точке 7 он будет равен )

Мы нашли изменения угла поворота вектора от 0 до . Сложим углы и получим:

Опять рассмотрим определение устойчивости по Михайлову (вектор должен поворачиваться на угол ).

У нас n=8

Значит система неустойчива. Тогда, можем найти число правых корней этой системы (если система неустойчива).

Следовательно, система неустойчива и число правых корней равно 2.

Критерий Найквиста.

Этот критерий позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по виду А-Ф (амплитудно- фазовой) характеристики разомкнутой системы.

Если передаточная функция разомкнутой системы

Представляя S=jw получаем частотную передаточную функцию разомкнутой системы.

Если изменить частоту w от до , то вектор будет меняться по величине и фазе. Кривую, описываемую концом этого вектора в комплексной плоскости, называют амплитудно-фазовой характеристикой разомкнутой системы.

При каких условиях замкнутая система будет устойчива?

(Она будет устойчива, если разомкнутая система неустойчива и имеет l правых корней.)

Существует 2 способа определения правых корней:

1) Можно считать охваты.

2) Можно использовать правило перехода Ципкина.

1) Таким образом, критерий Найквиста: если разомкнутая система автоматического управления неустойчива, то для того чтобы замкнутая система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы А-Ф характеристика разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до охватывала точку(-1; j0) в положительном направлении раз, где– число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

Дана частотная характеристика разомкнутой системы.

  j   4 2 5 3 1 w=0

Будем считать поворот вектора. Расставим точки на пересечении кривой с действительной осью (получилось 6 точек). Будем рассматривать повороты вектора с началом в точке (-1; j0).Получим участки:

1-2: (угол поворота равен )

2-3:

3-4:

4-5: 0 (т. к. Вектор начинает поворачиваться и возвращается в то же положение)

5-6: - (т.к. вектор поворачивается по часовой стрелке)

На основе принципа аргумента изменения угла поворота вектора при изменении частоты от до (только при положительных частотах).

где – число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

Таким образом, в нашем случае

-число правых корней

Таким образом, вывод: замкнутая система будет устойчива если разомкнутая система будет иметь 2 правых корня.

2) Используя правило Ципкина

  J + + - w=0  

Рассмотрим участок от до (-1; j0) и ставим (+) и (-) (положительные, и отрицательные переходы)

Если кривая пересекает действительную ось слева от точки (-1; j0) против часовой стрелки, т. е. сверху вниз, то ставим знак «+». Если по часовой стрелке, т.е. снизу вверх, то ставим знак «-». Подсчитываем количество знаков. У нас получилось +,+,-.

2(+)-1(-)=1/2

Следовательно, система будет устойчива, если разомкнутая система имеет 2 правых корня.

Дата добавления: 2013-12-13