Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Общие аспекты экономики производственного предприятия





Примеры

ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ

Таблица интегралов

Неопределенный интеграл. Определение. Свойства. Примеры.

Примеры.

1) является первообразной для функции , на всей числовой прямой, т.к. для

2) - первообразная для , т.е.

Уместен вопрос: для любой ли функции существует первообразная ?

Ответ дает теорема 1.

Теорема 1.1. Если функция непрерывна на промежутке , то для нее на этом промежутке существует первообразная.

Замечание.Если функция имеет точки разрыва, то первообразную для нее будем искать на интервале непрерывности.

Ставится вопрос: а сколько первообразных можно найти для функции .

Эта задача решается не однозначно, т.к. например,

.

Сколько же первообразных? Ответ дает теорема 2.

Теорема 1.2.Если первообразные для одной и той же функции , то

т.е. всякая непрерывная функция имеет бесчисленное множество первообразных, причем две любые из них отличаются на постоянное слагаемое.

Доказательство.Т.к. есть первообразная для , то по определению можно записать .

Обозначим и продифференцируем обе части равенства

и т.д.

Из теоремы следует, что если первообразная для функции , то и тоже является первообразной.

 

( Свойства: интеграл от дифференциала, производной; производная и дифференциал от неопределенного интеграла)

 

О.2.1. Неопределенным интегралом функции называется совокупность всех первообразных .

 

Обозначается : .

- первообразная,

- производная постоянная,

- подынтегральная функции,

- подынтегральное выражение,

- знак интеграла,

х - переменная интегрирования.

Операция нахождения совокупности первообразных, называется интегрированием, а раздел математики, изучающий интегрирование, называется интегральным исчислением.

График функции называется интегральной кривой функции - смещены относительно оси ОУ ( см. рисунок 1).

 

 
 



 

 


Рисунок 1.

Поэтому совокупность всех первообразных ( т.е. неопределенный интеграл) составляет семейство интегральных кривых.

Рассмотрим свойства неопределенного интеграла. Т.к. операция интегрирования является обратной для дифференцирования, то свойства неопределенного интеграла легко доказывается действием дифференцирования.

. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению

Доказательство.

Действительно: .

 

. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.

.

Доказательство

.

. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен сумме этой функции и постоянной

 

Доказательство

ч.т.д.

 

. Неопределенный интеграл от производной функции равен самой функции плюс произвольная постоянная, т.е.

Доказательство

 

Приведем таблицу основных интегралов. Часть формул следует непосредственно из определения интегрирования, как операции, обратной дифференцированию и таблицы производных.

Справедливость каждой формулы можно проверить путем дифференцирования правой части.

 

 

4. Непосредственное интегрирование

Первоначальные навыки по интегрированию связаны с так называемым непосредственным интегрированием, охватывающим применение таблицы интегралов, свойств интегралов и некоторые элементы преобразований, приводящих подынтегральное выражение к виду какого-либо табличного интеграла.

Рассмотрим сначала некоторые правила интегрирования.

4.1 Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух функции

равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от этих функций.

Доказательство

Найдем производную от правой и левой части. В силу свойства 20

левое выражение: (производная от интеграла равна

подынтегральной функции).

правая часть:

Правые части полученных равенств равны, следовательно, равны и левые части. Ч.т.д.

4.2 Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

Доказательство

Находим производную левой и правой части.

и т.д.

4.3 Если то:

 

 

Поможем в написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой




Дата добавления: 2013-12-13; Просмотров: 233; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2022) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.03 сек.