КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Методы интегрирования в определенном интеграле
Задача (3) о глубине проникновения воды в почву (о площади криволинейной трапеции). Задача (2) о работе переменной силы. Задача (1) о количестве вещества, вступившего в реакцию. План лекции. Лекция. Определенный интеграл, его свойства и приложения. (4 часа) 1. Задачи, приводящие к определению определенного интеграла. 2. Понятие определенного интеграла. 3. Свойства определенного интеграла, формула Ньютона-Лейбница. 4. Методы интегрирования в определенном интеграле (замена переменной и интегрирование по частям). 5. Приложения определенного интеграла. · Геометрические приложения (площадь плоской фигуры; длина дуги; площадь поверхности вращения; объем тела). · Физические приложения (работа силы; масса; статические моменты, координаты центра тяжести). · Биологические и экологические приложения (численность популяции, биомасса популяции, средняя длина пролета птиц). 6. Приближенное вычисление определенных интегралов (формула прямоугольников, формула трапеций, метод Симпсона).
1.Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла. Вычислим глубину проникновения воды в почву при условии, что скорость инфильтрации задана функцией , где – скорость инфильтрации в мм/час, а – время в часах за отрезок времени от до .
Мы столкнулись с задачей определения площади криволинейной трапеции. Мы можем рассматривать площадь прямоугольника как самое грубое приближение к площади криволинейной трапеции. Можно улучшить наше приближение, взяв, сумму более мелких прямоугольников.
Разобьём отрезок точками на n частей, положим . Наибольшую из этих разностей обозначим через λ: . (рис. 3) На каждом отрезке [xk-1, xk], , n выберем произвольную точку. Тогда – даёт площадь прямоугольника с основанием и высотой . Тогда сумма – даёт приблизительно площадь криволинейной трапеции. Если , то эта сумма будет стремиться к точному значению площади трапеции, то есть (*) 2. Понятие определённого интеграла. О Если существует предел (*), не зависящий от способа разбиения отрезка [а,b] и выбора точек ò k, то этот предел будем называть определённым интегралом функции f(x) на отрезке [а; b] и обозначать f(x) – подынтегральная функция f(x)dx – подынтегральное выражение а – нижний предел интегрирования b – верхний предел интегрирования - интегральная сумма 3. Свойства определённого интеграла. Формула – Лейбница. 10 – определённый интеграл с равными верхним и нижним пределами равен нулю. 20 – постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла. 30 – определённый интеграл от суммы двух функций равен сумме определённых интегралов от этих функций. 40 – при перестановке пределов интегрирования определённый интеграл меняет свой знак. 50 , где a < c < b – интеграл по отрезка равен сумме интегралов по его частям. 60 Если функцияна отрезке [а,b], то – это свойство следует из геометрического смысла определённого интеграла. 70 Формула Ньютона – Лейбница. Если функция f(x) непрерывна на сегменте [а,b] и F(x) – первообразная функции f(x) на этом отрезке, то Пример: Вычислить глубину проникновения воды в почву, если скорость инфильтрации задана формулой (мм/час) за время от x = 0,01ч до x = 0,25 часа.
(мм) 4.1. Замена переменной в определённом интеграле. Предположим, что функция f(x) непрерывна на сегменте [а,b], функция имеет на сегменте [α, β] непрерывную производную, при этом и . Пусть F(x) – одна из первообразных функции f(x). Тогда и в силу формулы производной сложной функции: Теперь воспользуемся дважды формулой Ньютона – Лейбница: . Таким образом, - формула замены переменной в определённом интеграле. Пример: Замечание: В отличие от неопределённого интеграла в определённом при замене переменной к старой переменной не возвращаемся.
Дата добавления: 2013-12-13; Просмотров: 2236; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |