Лекция 12. Почвенно-экологическая оценка и бонитировка почв

Геометрические приложения.

Интегрирование по частям.

Пусть – непрерывно дифференцируемые на сегменте [а,b] функции по формуле Ньютона – Лейбница:

, откуда

- формула интегрирования по частям в

определённом интеграле.

Пример: .

5. Приложения определённого интеграла.

· Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольной декартово й системе координат.

Пусть непрерывна на [a,b].

Если на [a,b], то площадь криволинейной трапеции ограничена линиями

Если на [a,b],то - на [a,b], поэтому . Тогда объединяя эти два случая, получаем

Если линия пересекает ось ox, то сегмент [a,b] надо разбить на части, в пределах которой не меняет знака, и вычислить площадь каждой части.

Пример: 1) и

2) и осью абсцисс (разбить на [0;π]и [π;2π].

· Вычисление площади в полярных координатах.

Пусть требуется определить S сектора OAB, ограниченного лучами

(рис. 5) и кривой AB,заданной в полярных координатах уравнением , где функция непрерывна на .

Разобьём отрезок на частей точками . Положим , . Наибольшую из этих разностей обозначим . Разобьём данный сектор на n частей лучами . Заменим -й сектор круговым сектором радиуса , где . Тогда сумма - это приближённая площадь сектора ОАВ. Отсюда .

Пример: Найти площадь плоской фигуры, ограниченной кардиоидой .

Учитывая симметричность кривой, имеем:

.-

· Вычисление длины дуги.

1) Пусть дуга АВ задана уравнением , , где имеет на непрерывную производную. Длиной дуги АВ называется предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда длина наибольшего звена стремится к нулю. Разобьем отрезок

точками на n частей, положим . Наибольшую из этих разностей обозначим через . Поставим точки , . Обозначим – приращение функции на отрезке . По теореме Пифагора .

По формуле Лагранжа , где - некоторая промежуточная точка отрезка . Отсюда . Следовательно, длина ломаной линии равна , переходя к пределу при , получим . Дифференциал дуги

2) Если кривая АВ задана параметрическими уравнениями , причём функции и имеют непрерывные производные и на , то путём замены переменной получим . Формула дифференциала дуги будет

3) Если кривая АВ задана в полярных координатах уравнением , то, учитывая связь между прямоугольными и полярными координатами, параметрические уравнения этой кривой будут:

Поэтому

, тогда получим:

.

Формула дифференциала дуги будет

Пример 1. Найти длину дуги линии при

Пример 2. Вычислить длину окружности радиуса R.

В полярных координатах уравнение окружности при .

Тогда .

· Площадь поверхности вращения.

Пусть дуга задана уравнением , где – функция, имеющая на непрерывную производную. Поверхность, образованная вращением -го звена ломаной вокруг оси ОХ, есть боковая поверхность усечённого конуса с площадью

или , где .

Следовательно, площадь поверхности вращения ломанной вокруг оси равна . Площадь поверхности вращения дуги вокруг оси определим

, где . Заметим, что сумма не является интегральной для функции , так как взяты значения функции в разных точках отрезка. Но можно доказать, что .

Поэтому - формула площади поверхности вращения в прямоугольной декартовой системе координат.

Аналогично, учитывая формулы дифференциала дуги, получаем выражения для площади поверхности вращения для функции, заданной параметрическими уравнениями

и для функции, заданной в полярных координатах

· Вычисление объёма.

Рассмотрим тело, содержащееся между плоскостями и . Пусть для каждого из сегмента дана площадь сечения этого тела , перпендикулярного оси . Разделим сегмент на частей и через точки деления проведём плоскости перпендикулярные оси . Эти плоскости разобьют тело на слои. Тогда объём -го слоя, ограниченный плоскостями и , будет . Образуем сумму . Тогда , если функция непрерывна на .

Таким образом, - формула для вычисления объема по площади поперечного сечения.

В частности, если тело образовано поверхностью вращения линии вокруг оси в пределах изменения от до , то и

.

Пример: Найти объём тела, образованного вращением плоской фигуры, ограниченной линиями и вокруг оси .

.

5.2 Физические приложения определённого интеграла.

Статическим моментом материальной точки, находящейся в плоскости XOY, относительно координатной оси Ох (или Оу) называется произведение массы этой точки на её ординату (соответстветственно абсциссу). Статическим моментом системы таких точек относительно координатной оси называется сумма статических моментов всех точек системы относительно этой оси.

Центром тяжести системы материальных точек с массами называется точка С, обладающая тем свойством, что если в ней сосредоточить всю массу системы, то её статический момент по отношению к любой оси равен статическому моменту системы точек относительно той же оси.

Пусть дуга АВ задана уравнением , где имеет на непрерывную производную, и на этой дуге распределено вещество с плотностью . Тогда масса материальной дуги:

а её статические моменты относительно координатных осей: ,

Координаты центра тяжести:

,

Для плоской фигуры, ограниченной линиями , на которой распределено вещество с плотностью масса и статические моменты всей фигуры вычисляется по формулам

, , .

Координаты центра тяжести как и для дуги: , .

5.3. Биологические и экологические приложения определённого интеграла.

· Численность популяции.

Число особей в популяции меняется со временем. Если условия существования популяции благоприятны, то рождаемость превышает смертность и общее число особей в популяции растёт со временем. Назовём скоростью роста популяции прирост числа особей в единицу времени. Если известна скорость роста популяции , то мы можем найти прирост численности популяции за промежуток времени от до .

Из определения следует, что эта функция является производной от численности популяции в момент , и, следовательно, численность популяции является первообразной для . Поэтому или .

Так например, в условиях неограниченных ресурсов питания скорость роста многих популяций экспоненциально, то есть .

Тогда

По этой формуле, например, можно вычислить численность популяции микроорганизмов, которые пересаживаем время от времени в новые ёмкости с питательной средой (например, культивируемых плесневых грибков, выделяющих пенициллин).

· Биомасса популяции.

Рассмотрим популяцию, в которой масса особи заметно меняется в течение жизни, и подсчитаем общую биомассу популяции.

Пусть означает возраст в тех или иных единицах времени,

– число особей популяции возраста ,

– средняя масса особи возраста ,

– биомасса всех особей в возрасте от 0 до .

Можно показать, что биомасса является первообразной для , то есть , отсюда , где – максимальный возраст особи в данной популяции. Так как , то .

Существуют и другие примеры возможных приложений определённого интеграла в биологии.

· Средняя длина пролета птиц.

Рассмотрим задачу о вычислении средней длины пролета птиц при прохождении некоторого фиксированного участка. Пусть участком будет круг радиуса . Будем считать, что не слишком велико, так что большинство птиц изучаемого вида пересекают этот круг по прямой. Птица может под любым углом в любой точке пересечь окружность. В зависимости от этого длина ее пролета над кругом может быть равной любой величине от 0 до .

Так как круг симметричен относительно любого своего диаметра, то ограничимся птицами, которые летят в одном каком-нибудь направлении, параллельном оси . Тогда средняя длина пролета – это среднее расстояние между дугами и , т.е. среднее значение функции , где - уравнение верхней дуги окружности, а - уравнение нижней дуги окружности. Тогда средняя длина пролета

.

Дата добавления: 2013-12-13