Итерационные методы решения интегральных уравнений в свертках

(1)

Предполагаем, что образ Фурье функции функция при изменении в интервале обращается в нуль в конечном числе точек. Обоснование итерационных алгоритмов будем проводить в пространстве .

Будем обозначать через преобразование Фурье функций .

Будем говорить, что выполнено условие А, если в плоскости комплексной переменной z множество значений расположено внутри угла с вершиной в начале координат и с раствором, меньшим , причем при конечных значениях функция не равна нулю. Тогда найдется такая константа (в общем случае комплексная), что множество значений будет расположено внутри и на окружности с центром в точке с радиусом, равным 1.

Пусть спектры входного и выходного сигналов расположены в сегменте и выполнено условие А. Тогда найдется такая константа , при которой .

Рассмотрим итерационный процесс:

(2)

Теорема 1. Пусть спектры входного и выходного сигналов расположены в сегменте и выполнено условие А. Тогда последовательность сходится к решению уравнения (1) со скоростью .

Пусть выполнено условие А и носители функций определены в интервале .

Рассмотрим итерационный процесс:

(3)

где , - константа, определенная из условия .

Теорема 2. Пусть уравнение (1) имеет единственное решение и выполнено условие А. Тогда последовательность , определяемая итерационной схемой (3), сходится к решению .

Рассмотрим итерационный процесс:

(4)

где образ Фурье функции имеет вид:

Теорема 3. Пусть выполнено условие А и уравнение (1) имеет единственное решение . Тогда итерационный процесс (4) сходится при любом начальном приближении со спектром, сосредоточенным в сегменте , и справедлива оценка

(5)

где , .

Пусть условие А не выполняется. Обозначим через и достаточно большие по абсолютной величине числа, выбор которых определяется условием . Введем сегменты , , где , таким образом, чтобы при изменении в сегменте , , приращение аргумента было меньше . Каждому сегменту , , поставим в соответствие такую константу , при которой значения функций при лежат внутри единичного круга с центром в точке . Обозначим через , , характеристические функции сегментов , , а через прообразы функций .

Для нахождения входного сигнала используем итерационный процесс:

(6)

, .

Определим из выражения

(7)

Теорема 4. Пусть уравнение (1) имеет решение . Тогда последовательные приближения сходятся и справедлива оценка

где , , .

Дата добавления: 2013-12-13