Системы линейных дифференциальных уравнений. Матричная запись. Структура общего решения

Примеры.

1. Привести к нормальной форме систему

Обозначим:

y ₁(x) = y (x), y ₂(x)= y ¢(x), y ₃(x) = z (x), y ₄(x)= z ¢(x).

Þ

2. Решить систему

Повысим порядок первого уравнения:

Исключим в нем y ₂¢:

Новая система:

Из первого уравнения

(1)

Þ

Это линейное неоднородное д. у. 2-го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью, являющейся суммой двух функций специального вида.

y _oн = y _oo + y _чн,1+ y _чн,2.

l_1,2 = 2 ± i, y _чн,1 = Ax ² + Bx + C, y _чн,2 = D sin x + E cos x.

Þ

Из (1)

Рассмотрим систему, состояющую из n уравнений, каждое из которых первого порядка:

В матричной форме:

где

Задача Коши будет корректной, если в т. x ₀ непрерывны коэффициенты a_ij (x) и функции f_i (x).

Определение. Если f_i (x) º 0, система линейных уравнений называется однородной, в противном случае – неоднородной.

Ввиду тесной связи системы с уравнением n -го порядка верны следующие утверждения (без доказательства).

Дата добавления: 2013-12-13