Решение

Пример 19.

Рис. 4 Рис.5

Рис. 2 Рис. 3

Решение.

Рис.1

А) б) в)

Пример 18.

Для стального ступенчатого бруса (см. рис.1) ( МПа), нагруженного силами, кратными F = 30 кН, с длиной участков l = 0,4 м при допускаемом нормальном напряжении = 160 МПа требуется:

1. Определить величину продольных сил на каждом участке бруса и построить их эпюру.

2. Подобрать площади поперечных сечений для каждого участка бруса.

3. Вычислить полную деформацию бруса и построить эпюру перемещений.

4. Определить перемещение заданного сечения А-А.

N, кН , м

1. Определение величины продольных сил. Разбиваем брус на четыре участка и определяем продольные силы N.

Участок KL: рассекаем брус поперечным сечением и отбрасываем ту его часть, на которой расположена заделка. Заменяем ее действие неизвестной, продольной силой N₁, предположительно направив ее на растяжение, т.е. от сечения (рисунок 2). Составляем уравнение статического равновесия, выбрав положительное направление осиZ, и определяем величину продольной силы N₁:

; N₁ = 0;

Участок DK: аналогично участку KL делаем сечение в любом месте по длине участка DK; отбрасываем верхнюю часть с заделкой, заменяем верхнюю отброшенную часть бруса неизвестной продольной силой N₂, также направив ее на растяжение (рисунок 3) и составляем условие статического равновесия:

; 2 F + N₂ = 0;

N₂ = - 2 F = -2×30 = - 60 кН.

Отрицательное значение продольной силы N₂ говорит о том, что действительное направление этой силы противоположное, т.е. не на растяжение, а на сжатие. Исправляем свою ошибку, направив силу N₂ в обратную сторону, и отбросив минус в ее значении.

Участок СD: продольную силу N₃ определяем аналогично определению продольных сил на участках KL и DK (рисунок 4).

; 2 F – 5F+ N₃ = 0;

N₃ = 5 F –2F = 3F = 3 ×30 = 90 кН.

В данном случае получили знак продольной силы N₃ положительный. Это говорит о том, что выбранное направление силы N₃ сделано верно.

Участок ВC: для расчетной схемы (рис. 5) аналогично выше изложенному получаем:

; 2 F – 5 F - F+ N₄ = 0;

N₄ = 5 F + F – 2 F = 4 F = 4×30 = 120 кН.

Знак у продольной силы N ₄ положительный – направление ее выбрано верно.

Далее строим эпюру продольных сил. Условимся откладывать положительные значения продольных сил справа от оси, а отрицательные (сжимающие) – слева от оси (рисунок 4,б):

1. Участок KL: продольная сила N₁ = 0;

2. Участок DK: продольная сила N₂ = 60 кН вызывает сжатие. Следовательно, откладывается в отрицательную сторону.

3. Участок СD: величина продольной силы N₃ = 90 кН, она направлена на растяжение и, соответственно, откладывается в положительную сторону от оси эпюры.

4. Участок ВС: здесь продольная сила N₄ = 120 кН растягивает стержень и откладывается в положительную сторону.

Правило проверки эпюры продольных сил: в точке приложения к брусу внешней сосредоточенной нагрузки на эпюре появляется скачок, равный величине внешней нагрузки и направленный в сторону действия этой нагрузки.

2. Подбор площадей поперечных сечений для каждого участка бруса. Величины площадей поперечных участков находятся из условия прочности при растяжении и сжатии.

; отсюда .

Участки KL и DK: Площади поперечных сечений участков KL и DK, согласно расчетной схемы, одинаковы и будут равны

Участок СD:

Участок ВС:

3. Вычисление полной деформации бруса и построение эпюры перемещений.

Полная деформация бруса равна алгебраической сумме деформаций его участков:

.

Для определения полной деформации бруса необходимо определить деформации всех отдельных участков.

Абсолютное линейное удлинение (укорочение) участка бруса длиной l согласно закону Гука равно:

Определяем деформации отдельных участков.

Участок KL: т.к. N ₁ = 0;

Участок DK:

Участок CD:

Участок ВC:

Полная линейная деформация бруса будет равна:

(0 – 0,32 + 0,32 + 0,32 + 0,32)×10^-3 = 0,32×10^-3 м.

Построение эпюры перемещений начинаем от защемления (сечения В), т.к. по условию задачи это сечение не может перемещаться, т.е. .

Перемещение сечения С численно будет равно деформации участка ВС: м.

Для остальных участков аналогично получим:

;

;

.

Построение эпюры перемещений (рис.1, в) выполняется аналогично построению эпюры продольных сил; проводим ось эпюры перемещений параллельно оси стержня и откладываем в выбранном масштабе значения величин перемещений сечений бруса с учетом их знаков и соединяем их прямыми линиями.

4. Определение перемещения заданного сечения. Перемещение заданного сечения А-А будет складываться из перемещения точки D и деформации отрезка длиной l₀ (рис. 1,а):

;

.

На расчетной схеме рисунок 1 проводим на уровне сечения А-А линию до пересечения ее с эпюрой перемещений . Эта линия должна отсечь на этой эпюре отрезок, равный вычисленному значению м (см. рис.1,б).

Для изображенного на рис. а стержня простроить эпюру нормальных сил и перемещений поперечных сечений.

а) в) г)

1. Определение опорной реактивной силы

Уравнение равновесия сил, направленных по оси Z, имеет вид

,

откуда

.

2. Определение внутренних нормальных сил N методом сечений и построение эпюры N(z)

Стержень имеет три участка, границами которых служат сечения, где приложены внешние силы . Для обнаружения нормальных сил на этих участках используем метод сечений. Мысленно рассекаем стержень на каждом из участков на расстояниях и рассматриваем равновесие одной из частей рассеченного стержня, заменяя действие отброшенных частей внутренними нормальными силами (рисунок 1, б). В результате получаем уравнения равновесия

.

С учетом находим

.

Нормальные силы на каждом из участков известны, что позволяет легко построить график-эпюру нормальных сил (рис. в).

Из эпюры находим опасное сечение или участок, где нормальные силы максимальны. Таким оказывается второй участок, на котором

.

3. Расчет на прочность

Для опасных сечений второгоучастка составляем условие прочности

.

Различают три типа расчета на прочность.

Проверочный расчет на прочность

Известны все величины в условии прочности. Пусть, например .

Тогда

,

что меньше допускаемого значения . Следовательно, стержень удовлетворяет условию прочности.

Проектировочный расчет на прочность

Требуется найти диаметр круглого поперечного сечения стержня, для которого площадь сечения определяется формулой .

Тогда

,

тогда

.

Сохраняя значения , получаем

.

Округляя, принимаем .

Расчетное напряжение

, что меньше допускаемого на 5,8 %.

Определение допускаемой нагрузки

Имеем

.

Пусть , тогда

.

4. Построение эпюры перемещений

Поскольку в задаче мы имеем три участка с различными значениями нормальных сил, то формулу удобно записать в виде

,

где – номер участка; – постоянная в начале i -го участка; – текущая координата сечения i -го участка; – жесткость i -го участка, – координаты начального сечения i -го участка.

На первом участке имеем

.

Следовательно, эпюра − прямая линия.

При имеем , т. е. при жестком защемлении.

При получаем

.

На втором участке имеем

.

Эпюра на втором участке − прямая линия.

При получаем

.

На третьем участке имеем

.

При получаем

.

Используя полученные данные, строим график-эпюру перемещений поперечных сечений (рисунок 1, г).

5. Расчеты на жесткость

Согласно (5), полное удлинение стержня не должно превышать условия жесткости стержня:

.

Отсюда можно найти другое допускаемое значение силы:

.

Сравнивая два значения, видим что Р _доп наименьшее.

Дата добавления: 2013-12-13