Правила дифференцирования вектор-функции

Так как (t) = j¢(t) , то ясно, что основные правила дифференцирования функций имеют место и для векторов:

1) ( ₁(t) + ₂(t))¢ = ¢₁(t) + ¢₂(t);

2) ( ₁ × ₂)' = ¢₁ × ₂ + ¢₂ × ₁, где ₁ × ₂ – скалярное произведение векторов.

Следствие. Если – единичный вектор, то

3) (c )¢ = c ¢, где с – постоянная;

4) ( ₁ ´ ₂) ¢ = ¢₁ ´ ₂ + ¢₂ ´ ₁, где ₁ ´ ₂ – векторное произведение векторов.

Напишем уравнения касательной к кривой в точке M_о(x_о, y_о, z_о):

В качестве направляющего вектора можно взять вектор ¢₁(t_о) и уравнения примут вид:

Нормальной плоскостью к кривой называют плоскость, проходящую через точку М_о (x_о, y_о, z_о) перпендикулярно касательной к кривой в точке M_о.

Уравнение нормальной плоскости:

Кривизна пространственной кривой может быть вычислена по формуле

при произвольном параметрическом задании этой кривой и в произволь­ной точке кривой. Здесь ( ¢)² – скалярное произведение векторов ¢ × ¢.

Пример 4. Написать уравнения касательной, уравнение нормальной плоскости и вычислить кривизну линии (t) в точке t_o = 0.

Решение:

Параметру t_o = 0 соответствует точка M(0, –1, 1).

Уравнения касательной:

Уравнение нормальной плоскости:

0(x – 0) + 1(y + 1) + 1(z – 1) = 0, y + z = 0.

Вычислим кривизну в точке М:

, , , . Итак,

Дата добавления: 2013-12-13