Продольно-поперечный изгиб стержня

Рассмотрим случай, когда стержень нагружен не только продольными, но и поперечными нагрузками

y P₁ P₂ P₃

P x

а)

y

В обычных расчетах считается, что продольные силы вызывают только деформации растяжения или сжатия, их влияние на величину изгибающих моментов не учитывается. При достаточно больших продольных силах такой расчет ведет к значительным ошибкам, поэтому при составлении уравнений равновесия необходимо, как и в задачах устойчивости учитывать изгибающие моменты, создаваемые продольными силами за счет искривления оси. Для рассматриваемого стержня:

где М_о (х) - момент от поперечных нагрузок.

Подставляя значение М(х) в диф. уравнение изогнутой оси балки

получим

или

(1)

Уравнение (1) называется уравнением продольно-поперечного изгиба.

Общее уравнение которого запишется:

Уравнение (1) называется уравнением продольно-поперечного изгиба.

Если обозначить

, (2)

Общее уравнение которого запишется:

(3)

где Ф - частное решение уравнения (2), которое принимается в виде функции аналогичной правой части уравнения (2).

В качестве примера рассмотрим внецентренно сжатый стержень:

y EI

H_A = P y P x

а) A B M_B

x

i

(а)

(б)

(в)

Общее решение

(г)

где частное решение

Ф = АХ. (д)

Подставим частное решение (д) в дифференциальное уравнение (б), вместо

у = Ф,

,

отсюда

Граничные условия задачи:

1) при Х = 0; => У = 0

0 = С₂; т.е. С₂ = 0;

2) при ; => У = 0

0 = , .

или (4)

Определим угол поворота сечения балки на левой опоре:

(5)

умножим числитель и знаменатель на 6 .

, учитывая что

или

(6)

- учитывает влияние продольной силы.

Угол поворота сечения на правой опоре:

Умножим и разделим на 3

, учитывая что

(7)

- учитывает влияние продольной силы.

Дата добавления: 2014-01-04