Криволинейная система координат и ее базис

Теория поля в ортогональной криволинейной системе

Во многих задачах удобно определять положение точки пространства не декартовыми координатами , а другой тройкой чисел , которую называют криволинейными координатами.

Пусть известна связь между декартовыми и криволинейными координатами

или в векторном виде .

Введем понятие координатных поверхностей и координатных линий.

Координатные поверхности ─ это поверхности, на которых одна из координат сохраняет постоянное значение, например, , или , или .

Координатная линия это множество точек пространства, у которых координата меняется, а координаты фиксированы, ; при этом есть параметрическое уравнение линии ; вектор является касательным вектором к линии в точке (рис.80).

Координатная линия это множество точек плоскости, у которых координата меняется, а координаты фиксированы, ; при этом параметрическое уравнение линии ; вектор является касательным вектором к линии в точке (рис. 80).

Аналогично определяется координатная линия и ее касательный вектор .

Координатные линии являются линиями пересечения двух координатных поверхностей; например, линия является пересечением координатных поверхностей .

Векторы образуют базис криволинейной системы координат. Его называют локальным базисом, так как он меняется при переходе от точки к точке.

Если векторы ─ ортогональны, то базис называют ортогональным. Наиболее удобен соответствующий ортонормированный базис (ОНБ)

. (15.1)

Величины называют коэффициентами Ламэ.

Дата добавления: 2014-01-04