Основні логічні операції

Розглянемо три основні логічні операції.

1. Операція НІ (логічне заперечення, або інверсія). Логічне заперечення функції Y позначається як Y = X¯ (вимовляється " Y дорівнює не X") і визначається таблицею істиності:

Тут X — вхідний, а Y вихідний сигнали електричної схеми, яка реалізує операцію НІ і називається логічним елементом. На рис. 1, а наведено позначення логічного елемента НІ, на рис 1, б — часові діаграми сигналів і на рис. 1, в — приклад і реалізації елемента НІ за допомогою транзисторного ключа. Потенціал Е приймається за одиничне значення логічної функції Y, а потенціал 0 — за нульове значення логічної функції. Якщо сигнал на вході X приймає значення U_вх ≈ 0,5 В, достатнє для повного відкривання транзистора (логічна "1"), транзистор відкриваються і вихідний сигнал U_вих ≈ 0, тобто Y = 0. Якщо ж X = 0, то вхідна напруга ключа дорівнює нулю, транзистор закрито і U_вих ≈Е, тобто Y = X¯ = 1.

Рис. 1

2. Операція АБО (логічне додавання, або диз'юнкція) позначується символами "+" або "˅". Надалі будемо використовувати символ "+". При наявності двох незалежних аргументів Х₁ та Х₂ записується як Y = Х₁ + Х₂ (читається "Y є Х₁ або Х₂")\ і визначається таблицею істинності:

Кількість аргументів X може бути два, три і більше. Функція Y = 1, якщо хочf б одна з незалежних змінних дорівнює одиниці. Приклад операції АБО в технічних пристроях: "Двигун можна ввімкнути до мережі перемикачем на блоці керування або дистанційно з пульта оператора". На рис. 2, а наведено позначення логічного елементі АБО, часові діаграми сигналів на входах і виході елемента (рис. 2, б), реалізація елемента на замикаючих контактах (рис. 2, в) і на діодах (рис. 2, г). Потенціалі Е приймаємо за логічну одиницю, потенціал 0 — за логічний 0 (рис. 2, б). В колі 2, в потенціал Е поступає на навантаження R_нв, якщо замкнуто ключ Х₁ (Х₁=1), або замкнуто ключ Х₂ (Х₂ = 1), або замкнуто обидва ключі (Х₁ = Х₂ = 1). Найпростіша реалізація елемента АБО — діодна схема рис. 2, г. Напруга на виході дорівнюватиме Е(Y = 1), якщо хоча б на один з входів Х₁, Х₂ буде подано додатний потенціал Е, який відкриє діод і вхідна напруга буде прикладена до навантаження (U_вих ≈ Е).

Рис. 2

3. Операція І (логічне множення, або кон'юнкція). Для її позначення використсовують символи "&", "х". Надалі використовуємо позначення "х". Записується як Y = Х₁·Х₂ (читається " Y дорівнює X₁ і Х₂") і визначається таблицею істиності:

Приклад логічного повідомлення, в якому наявні операції І та АБО: "Мотор ввімкнено до мережі, якщо ввімкнено автоматичний вимикач І замкнено контакт SB1 кнопки "пуск" АБО замкнено блок-контакт K магнітного пускача K, що шунтує контакт SB1". На рис. 3 наведено позначення елемента І (рис. 3, а), часові діаграми сигналів на входах і виході елемента І (рис. 3, б), реалізація елемента на ключах (рис. 3, в) та на діодній схемі (рис. 3, г). Потенціал Е прийнято за 1, потенціал 0 — за логічний 0. В колі (рис 3, в) потенціал Е передається на навантаження тільки тоді, коли замкнуто ключ Х₁ (Х₁ = 1) і ключ Х₂ (Х₂ = 1). Найпростіша реалізація елемента І показана на рис. 3, г. Напруга на виході U_вих = Е (Y = 1) тільки тоді, коли всі діоди будуть заперті, тобто на всіх входах буде потенціал Е (логічна 1). Інакше один з діодів відкривається і на навантаженні буде потенціал відкритого діода U_вих ≈ 0 (логічний нуль).

Рис. 3

Логічні елементи, які реалізують логічні операції НІ, АБО, І можуть бути створені на дискретних напівпровідникових приладах (транзисторах, діодах, резисторах), на ІМС, на гідравлічних або пневматичних елементах. Техніко-економічні переваги ІМС обумовили застосування для логічних операцій майже виключно ІМС.

Крім логічних операцій НІ, АБО, І за допомогою ІМС реалізуються також логічні операції "АБО—НІ" та "І—НІ". Рівняння логічн ої опер ації АБО—НІ має вигляд:

а логічної операції І—НІ:

В записах рівнянь використано теорему Моргана, яка стверджує, що інверсія суми дорівнює добутку інверсій і навпаки. Таблиці істинності операцій:

На рис. 4 зображені контактні групи та позначення логічних елементів, які здійснюють операції АБО—НІ (рис. 4, а) та І—НІ (рис. 4, б).

Рівняння логічних операцій розв'язуються згідно з правилами алгебри логіки, яка є аналогом звичайної алгебри. Особливістю алгебри логіки є те, що аргументи і функції можуть приймати лише два значення: 0 та 1. Алгебра логіки дозволяє математично описати логічні повідомлення і зв'язки між ними для будь-якого автоматичного пристрою і виконати його оптимізацію.

Рис. 4

Порядок дій в алгебрі логіки: спочатку виконується операція НІ, потім І і наприкінці АБО. Для зміни порядку виконання дій використовуються дужки. Операції віднімання та ділення в алгебрі логіки відсутні. Мають місце переміщувальний та сполучний закони:

Використовуючи тотожності, можна спростити логічні рівняння, звести до мінімуму кількість логічних елементів, необхідних для реалізації логічних функцій.

Контрольні питання:

1. Що таке логічне повідомлення?

2. Які значення може приймати логічна функція?

3. Що означає логічна операція НІ?

4. Які особливості операції логічного додавання?

5. Як реалізується елемент І?

6. Що означають логічні операції АБО-НІ та І-НІ?

Дата добавления: 2014-01-04