Метод Лагранжа (метод вариации постоянной)

Метод Бернулли.

Решение уравнения у ¢+ Р (x) у = Q (x) ищется в виде произведения двух других функций, то есть с помощью подстановки y = u · v, где u (x) и v (x) – неизвестные функции от х, причём одна из них произвольна, но не равна нулю, пусть v ≠0.

y = u · v

y ¢= u ¢· v + u · v ¢

Подставляя выражения у и у ¢ в заданное уравнение получаем:

u ¢· v + u · v ¢+ Р (x)· u · v = Q (x)

или

u ¢· v + u ·(v ¢+ Р (x)· v)= Q (x).

Подберём функцию v так, чтобы v ¢+ Р (x)· v =0, то есть решим u ¢· v = Q (x) – уравнение с разделяющимися переменными. Ввиду свободы выбора функции v примем в решении данного уравнения постоянную за 0.

Отыскав функцию v, подставим её в заданное уравнение и отыщем вторую функцию u.

Запишем окончательный ответ в виде: y = u · v.

Решение уравнения у ¢+ Р (x) у = Q (x) ищется в следующей последовательности:

Составим вспомогательное ЛОДУ−I у ¢+ Р (x) у =0 и решим его как уравнение с разделяющимися переменными. То есть получим, что у = f (x)+ C, где С = const – общее решение вспомогательного уравнения.

Теперь будем искать общее решение заданного уравнения в виде у = f (x)+ C (х), где С (х) – некоторая теперь функция от х.

Найдём производную полученного выражения у ¢ и подставим у и у ¢ в заданное уравнение из которого выразим неизвестную функцию С (х) (заметим, что при данной подстановки два слагаемых в уравнении обязательно взаимно уничтожатся).

Подставим найденную функцию С (х) в общее решение заданного уравнения.

Задание 2. Найти общее решение ДУ I:

y ′ ctgx + y =2 Метод Бернулли. Пусть y = uv, где u, v – неизвестные функции от х, тогда y ′= u′v + uv ′. Подставим полученные у и у′ в исходное уравнение: (u′v + uv′) ctgx + uv =2; Сгруппируем слагаемые относительно u, которую вынесем за скобки: (*) u′vctgx + u (v′ctgx + v)=2; Пусть выражение в скобках уравнения (*) равно нулю, т.е. v′ctgx + v =0 Получили уравнение с разделяющимися переменными, из которого найдём функцию v: Определим функцию u. Для этого в уравнение (*) подставим вместо скобки 0, а вместо функции v найденное выражение: u′vctgx + u ·0=2 Þ u′vctgx =2 Þ u′cosxctgx =2 Предположив, что y = uv , получили, у =2+ Ccosx, где С= const – общее решение уравнения.

y ′= y / х +2 х ^2 Метод Бернулли.

Задание 3. Найти общее решение ДУ I:

Метод Лагранжа. Составим вспомогательное уравнение: - это уравнение с разделяющимися переменными, итак, где С = const - общее решение вспомогательного уравнения. Ищем теперь общее решение заданного уравнения в виде: , где С (х)- некоторая функция от х. . Подставим полученные выражения в заданное уравнение и найдём С (х): , где C^*=const, - общее решение уравнения.

, у 0=0, х 0=0 Метод Лагранжа.   у = sinx + C *cosx - общее решение; у = sinx - частное решение (решение задачи Коши).

Дата добавления: 2014-01-04