Лекция 21. Раскрытие неопределенностей с помощью преобразований

При нахождении пределов функций вначале необходимо вместо независимой переменной подставить ее предельное значение. Если при этом получается конечное значение функции, то оно и будет ее пределом. Если при подстановке выясняется, что возникает неопределенность, то нужно от нее избавиться – раскрыть неопределенность. Для этого раскрытия используются, в первую очередь, два подхода. Первый: преобразование функций, стоящих под знаком предела, с помощью алгебраических и тригонометрических формул. Второй: выделение в рассматриваемой функции некоторых эталонных пределов, называемых замечательными. При раскрытии неопределенностей после каждого преобразования функции в нее подставляют предельное значение переменной, чтобы проверить, осталась ли неопределенность. Действия продолжают до тех пор, пока неопределенность не будет устранена.

Предел дробно-рациональной функции. Прежде чем мы перейдем к разбору возможных преобразований при возникновении неопределенностей отметим еще раз тот факт, что в области непрерывности любой функции её предел равен значению функции в указанной предельной точке, т.е. при отыскании предела дробно-рациональной функции можно в аналитическом выражении функции заменить аргумент его предельным значением, если при этом предельном значении знаменатель не обращается в нуль. Если , то , при .

Пример 1: Найти .

Функция - целая рациональная. Заменим в аналитическом выражении функции х его предельным значением и получим: .

Пример 2: Найти .

Функция - дробно-рациональная. Прежде чем заменять в аналитическом выражении функции х его предельным значением, нужно проверить, не обращается ли в нуль знаменатель дроби при х=3. Проверяем: .

Для самостоятельного решения:

1. Найти . Ответ: -2.

2. Найти . Ответ:30.

3. Найти . Ответ: 0.

4. Найти . Ответ: -1,5.

Рассмотрим другие возможные случаи, возникающие при отыскании предела дробно-рациональной функции. Так, например, если , , то частное дает неопределенность. Для того, чтобы определить предел дробно-рациональной функции в этом случае, нужно числитель и знаменатель дроби разделить на (х-а) и перейти к пределу. Если и после этого числитель и знаменатель новой дроби имеют пределы, равные нулю при , то надо произвести повторное деление на (х-а). Другими словами эта неопределенность вида , заданная отношением двух многочленов раскрывается разложением многочленов на множители и сокращением общих множителей в числителе и знаменателе.

Пример 3: Найти .

.

Пример 4. Найти

Пример 5. Найти

Для самостоятельного решения:

1. Найти . Ответ: .

2. Найти . Ответ: .

3. Найти . Ответ: .

4. Найти . Ответ: .

Другой вид неопределенности дает где и – многочлены. В этом случае мы имеем дело с отношением двух бесконечно больших функций. Без специального исследования об этом отношении нельзя сказать ничего определенного.

Пусть - многочлен степени n, а - многочлен степени m. Нам требуется найти

.

Вынесем за скобку в числителе , а в знаменателе:

Таким образом, для нахождения предела функции в данном случае следует разделить числитель и знаменатель дроби на высшую степень х, встречающуюся в членах дроби, а после этого перейти к пределу.

Пример 6: Найти .

Разделим числитель и знаменатель дроби на .

так как при функции являются бесконечно малыми (т.е. пределы их равны нулю).

Пример 6. Найти .

Разделим числитель и знаменатель дроби на .

Пример 7. Найти .

Разделим числитель и знаменатель дроби на .

Правило. Предел неопределенности вида , заданной отношением двух многочленов, равен:

а) нулю, если максимальная степень независимой переменной x в знаменателе больше, чем максимальная степень в числителе;

б) ± бесконечности, если максимальная степень в числителе больше, чем в знаменателе (+¥, если коэффициенты при максимальных степенях в числителе и знаменателе одного знака, –¥, если указанные коэффициенты разных знаков);

в) отношению коэффициентов при максимальных степенях, если они одинаковы в числителе и знаменателе.

Для самостоятельного решения:

1. Найти . Ответ:5

2. Найти . Ответ: .

3. Найти . Ответ:0

4. Найти . Ответ: .

Предел дроби, содержащей иррациональные выражения. В этом случае может возникнуть два вида неопределенностей: - когда пределы числителя и знаменателя дроби равны нулю, и - когда пределы числителя и знаменателя дроби равны бесконечности.

Чтобы найти предел дроби, содержащей иррациональные выражения в первом случае, надо перенести иррациональность из числителя в знаменатель или из знаменателя в числитель с помощью умножения числителя и знаменателя на соответствующие алгебраические выражения. После этого выполнить все возможные упрощения и перейти к пределу.

Пример 8: Найти .

При числитель и знаменатель дроби имеют предел, равный нулю. Перенесем иррациональность в знаменатель. Для этого умножим числитель и знаменатель на выражение , сопряженное к числителю. Оно необходимо для представления числителя по формуле разности квадратов двух выражений.

Пример 9: Найти .

При числитель и знаменатель дроби имеют предел, равный нулю. В этой задаче придется сначала числитель и знаменатель дроби умножить на , а потом на .

Пример 10. Найти .

При числитель и знаменатель дроби имеют предел, равный нулю. В этой задаче придется сначала числитель и знаменатель дроби умножить на , дополняя тем самым числитель до полного квадрата, а потом на , дополняя знаменатель до разности кубов.

Для самостоятельного решения:

1. Найти . Ответ: .

2. Найти . Ответ: 0.

3. Найти . Ответ: .

4. Найти . Ответ: .

Чтобы найти предел дроби, содержащей иррациональные выражения в случае неопределенности , нужно использовать прием, описанный для дробно-рациональных функций. Различие заключается в том, что здесь многочлены, как правило, стоят под знаком корня, поэтому деление числителя и знаменателя дроби на высшую степень х следует производить с подкоренными выражениями.

Пример 10: Найти .

В этом случае, так же как и для дробно-рациональных функций, можно предсказать вероятное значение предела по максимальным степеням числителя и знаменателя. При определении максимальных степеней следует пользоваться тем фактом, что при выражение можно представить следующим образом: , где под многоточием предполагается бесконечно большая величина при более низшего порядка чем .

Пример 11: Найти .

Посмотрим, что должно получиться:

. В итоге знаменатель:

Естественно ожидать, что предел будет равен 1/3.

Для самостоятельного решения:

1. Найти . Ответ: .

2. Найти . Ответ: 0.

3. Найти . Ответ: 0.

4. Найти . Ответ: .

Существует еще один тип пределов вида , которые можно свести к рассмотренным пределам, содержащим иррациональные выражения в случае неопределенности . Способов сведения два:

1) перенести иррациональность из числителя в знаменатель;

2) использовать формулы сокращенного умножения для уничтожения разности квадратных и кубических корней.

Пример 12: Найти .

Для того, чтобы избавиться от разности с квадратным корнем, умножим и поделим всю разность на сопряженное ей выражение.

Таким образом, мы свели задачу к предыдущей. Далее, определив степень числителя и знаменателя, поделим числитель и знаменатель на х и в результате получим:

Для самостоятельного решения:

1. Найти . Ответ:-2,5.

2. Найти . Ответ: .

3. Найти . Ответ: 0.

4. Найти . Ответ: 0.

Вычисление пределов выражений, содержащих показательные и логарифмические функции. В этих случаях при определенных условиях можно обойти сложности от появления показательной или логарифмической функции простым выносом самой функции за знак предела. Так, например, если существует предел и этот предел положителен, то . Другими словами, можно переходить к пределу под знаком логарифма. Требование, чтосвязано с тем, что число А в правой части формулы стоит под знаком логарифма, а логарифмическая функция определена только для положительных значений аргумента.

Для показательной функции вынос самой функции за знак предела происходит аналогично, с той разницей, что в этом случае не требуется никаких условий на знак . Как следствием вышесказанного, полезно пользоваться следующим фактом: если , то . Этот факт используется при сведении неопределенностей к неопределенностям вида с помощью логарифмирования функции. Об этом мы расскажем позднее при изучении правила Лопиталя.

Пример 13: Найти .

.

Пример 14: Найти .

Пример 15: Найти .

.

Дата добавления: 2014-01-04