Метод интегрирования по частям

J Пример 22.1.

1) .

2)

.

3) а) .

б) .

в)

(доказательство формулы 8 таблицы интегралов лекции 21).

г)

(доказательство формулы 12 таблицы интегралов лекции 21).

4) а) При .

б) При , ,

.

в) При , ,

. (22.2)

г) .

д) При

,

где последний интеграл вычисляется по (22.2). J

J Пример 22.2. Вычислить заменой переменных интегралы

1) , 2) , 3) , 4) , 5) ,

6) , 7) , 8) , 9) ,

10) , 11) , 12) , 13) . J

♦ Теорема 22.1 (формула интегрирования по частям). Пусть и – непрерывно дифференцируемые функции. Тогда

. (22.3)

Доказательство. Имеем , следовательно и после интегрирования получаем: . Окончательно:

.

Постоянную C обычно опускают, так как в правой части формулы интегрирования по частям стоит неопределённый интеграл. ■

Интеграл может оказаться более простым, чем . Большую часть интегралов, вычисляемых методом интегрирования по частям, можно разбить на 3 группы:

1) , , , , , где – многочлен степени m. При вычислении интегралов этой группы, необходимо за принять (обратную тригонометрическую функцию или логарифм) и положить .

2) , , , где – многочлен степени m. При вычислении интегралов этой группы, необходимо принять , . Необходимо применить интегрирование по частям m раз.

3) , . Здесь необходимо применить двукратное интегрирование по частям, после чего искомый интеграл выражается сам через себя и находится из получающегося линейного уравнения 1‑го порядка.

J Пример 22.3. 1) .

2) .

3)

,

откуда . J

J Пример 22.4. 1)

.

2) , – алгебраический многочлен. Применяем n -кратное интегрирование по частям. Так как характер первообразной легко угадывается, то эти интегралы можно вычислять методом неопределённых коэффициентов.

Например, для первообразная имеет вид:

, где .

Коэффициенты находим из условия

.

3) ; ,

, .

J

J Пример 22.5. 1)

.

Здесь можно было поступить наоборот и принять . Далее имеем:

,

, ,

.

2) Тем же самым способом можно получить, что

,

а можно найти по связи с . J

22.3. Некоторые рекуррентные [1] формулы.

1) Метод интегрирования по частям для интеграла , , приводит к рекуррентному выражению , где

,

и окончательно:

,

.

Используя это выражение, можем понизить индекс на единицу, двойку и т.д., что приводит к цепочке формул:

,

, ,

приводящей к .

J Пример 22.6. 1)

. J

2) Рассмотрим также интеграл :

,

то есть

.

Применяя тот же процесс, приводящий к понижению на единицу показателя степени в знаменателе подынтегральной дроби, придём к .

Таким образом, при и интеграл берётся в элементарных функциях.

[1] От лат. recurrens – возвращающийся.

Дата добавления: 2014-01-04