Методы Рунге-Кутты произвольного и четвертого порядков

Любой метод из семейства методов Рунге-Кутты второго порядка (7.30) реализуют по следующей схеме. На каждом шаге, т.е. при каждом = 0, 1, 2,..., вычисляют значения функции

а затем находят шаговую поправку

прибавление которой к результату предыдущего шага дает приближенное значение решения у(х) в точке :

Метод такой структуры называют двухэтапным по количеству вычислений значений функции — правой части уравнения (22.1) — на одном шаге.

Анализ устройства методов Рунге-Кутты второго порядка позволяет представить, в какой форме следует конструировать явный метод Рунге-Кутты произвольного порядка. По аналогии с предыдущим для семейства методов Рунге-Кутты р- го порядка используется запись, состоящая из следующей совокупности формул:

где k = 2,3,..., p (для р -этапного метода). Многочисленные параметры фигурирующие в формулах (7.32), подбираются так, чтобы получаемое методом (7.32) значение совпадало со значением разложения у (х_{i +1}) по формуле Тейлора с погрешностью (без учета погрешностей, совершаемых на предыдущих шагах).

Наиболее употребительным частным случаем семейства методов (7.32) является метод Рунге-Кутты четвертого порядка, относящийся к четырехэтапным и определяемый следующими расчетными формулами*:

Дата добавления: 2014-01-04