Тригонометрический ряд

Рассмотрим теперь бесконечную сумму произведений тригонометрических функций с некоторыми постоянными числами, т.е. перейдем в (2) к пределу при .

Опр.	Тригонометрическим рядом называется функциональный ряд вида где действительные числа - называются коэффициентами этого ряда.

Если тригонометрический ряд сходится на отрезке , в силу переодичности тригонометрических функций, он сходится на всей числовой оси, и его сумма является переодической функцией с периодом :

= (3)

Соотношение (3) можно трактовать также как разложение функции в тригонометрический ряд. В связи с этим напрашивается вопрос, нельзя ли любую переодическую функцию представить в виде ряда простейших гармоник. При этом, очевидно, должны быть решены два вопроса: 1) каким требованиям должна удовлетворять чтобы она была суммой некоторого тригонометрического ряда 2) и как построить такой ряд, т.е. как вычислить значения его коэффициентов. Ответим сначала на второй вопрос.

Теорема

Если функциональный ряд (4) равномерно сходится на , то после умножения каждого его члена на непрерывную и ограниченную на этом отрезке функцию вновь полученный ряд (5) также равномерно сходятся на этом отрезке.

Доказательство:

Т.к. - непрерывна и ограничена на , то число , что для всех имеет место оценка . (6)

По критерию Коши равномерной сходимости ряда имеем:

, такой, что для , и :

. (7)

Тогда, использую (6) и (7): , такой, что , и :

=<

< .

Доказанная теорема и лемма об ортогональности тригонометрических функций позволяет построить тригонометрический ряд для заданной функции и доказать его единственность.

Теорема

Если функция является суммой равномерно сходящегося тригонометрического ряда (3), то это разложение единственно, причем коэффициенты ряда вычисляются по формулам: (8)

Доказательство:

Пусть тригонометрический ряд (3) сходится на и его сумма равна , причем функция интегрируема на этом отрезке. Тогда на основании свойства функциональных рядов, этот ряд можно проинтегрировать по , в результате чего получим:

===

Умножив ряд (3) на непрерывную и ограниченную функцию , получим ряд

= ,

который, согласно предыдущей теореме, также равномерно сходится на . Проинтегрируем этот ряд по .

==

=.

Т.е. .

Аналогично получаем, что .

Необходимое условие разложения функции в тригонометрический ряд является существование интегралов (8).

Опр.	Тригонометрический ряд, коэффициенты которого определяются по формулам (8), называется рядом Фурье, а его коэффициенты – коэффициентами Фурье.

Дата добавления: 2014-01-04