Интеграл Фурье

Исследует предельный случай, когда промежуток , на котором заданная раскладывается в ряд Фурье, неограниченно расширяется, т.е. . Иными словами рассмотрим задачу о представлении непереодической функции, заданной на всей числовой оси, в виде, аналогичном ряду Фурье.

Пусть подчиняется 2-м условиям:

1) на удовлетворяет условию Дирихле

2) она абсолютно интегрируема на всей числовой оси, т.е. несобственный интеграл .

Согласно 1-му условию можно разложить в ряды Фурье на :

===

==

==

=

Осуществим предельный переход при

=

Обозначим:

, ,

при . Тогда

==.

Исходя из полученного представления, интуитивно следует ожидать:

(9)

И это предположение подтверждается теоремой Фурье (без доказательства):

Теорема (интегральная теорема Фурье)

Если абсолютно интегрируема на всей числовой оси и удовлетворяет условию Дирихле на отрезке, то для этой функции справедливо представление (9) в точки ее непрерывности, а в точках разрыва: .

Опр.	Интегралом Фурье абсолютно интегрируемой функции называется интеграл .

Используя формулу для косинусов разности двух углов, можно преобразовать (9) к виду:

=

= (10)

где

Интеграл (10) также называется интегралом Фурье для . Он формально совпадает с (9).

Если - чётна, то , , тогда интеграл Фурье (11)

Если - нечетна, то , , тогда интеграл Фурье (12)

Если задана только на положительной полуоси, т.е. на , то формулы (11) осуществляют четное продолжение на всю числовую ось; а формулы (12) – нечетное её продолжение.

Дата добавления: 2014-01-04