Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Производная по направлению. Градиент

Пусть функция определена в окрестности т. и задан единичный вектор . Проведем через т. ось , направление которой совпадает с направлением вектора . Выберем на этой оси произвольную т. и рассмотрим направленный отрезок .  

 

Из аналитической геометрии известно, что координаты т. определяются равенствами

, ,

На указанной оси функция является сложной функцией одной переменной величины . Если эта функция имеет в т. производную по переменной , то эта производная называется производной по направлению от функции в т. и обозначается:

.

Т.к. , , , то из последней формулы находим:

(8)

(Т.к. все величины в правой части этого равенства не зависят от выбора с/к (они определяются функцией , т. и ), то производная по направлению в т. функции , аргументом которой является точка пространства, не зависит от выбора с/к).

Производная по направлению характеризует скорость изменения функции в заданном направлении.

Пример. Вычислить производную функции в т. в направлении к т.

Решение:

, где - направляющие косинусы вектора .

1), .

, , .

2),

Ответ: .

  Опр. Градиентом функции в т. называется вектор, координатами которого являются частные производные функции в т. :

Использовав понятие и скалярного произведения, формулу (8) для производной по направлению можно записать следующим образом:

Градиент указывает направление наибольшего роста функции в рассматриваемой точке. Если , то направление является единственным направлением, по которому в данной точке имеет наибольшее значение (оно достигается если и . Если же , то в данной точке производные по всем направлениям =0.

Пример.

Решение:

1),

2).

Обобщим понятие производной по направлению и градиента на случай функции многих переменных.

Если функция дифференцируема в т. , то в этой точке существует производная по любому направлению и

Градиент функции в общем случае определяется по формуле:

.

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Преступления, посягающие на конституционный запрет разжигания расовой, национальной и религиозной вражды | Частные производные высших порядков
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 349; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.016 сек.