КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Пример 2
Найти двойным интегрированием объем тела, ограниченного поверхностями: параболоидом вращения , координатами плоскостями и плоскостью Решение:
3.(Площадь поверхности) Пусть область есть проекция куска поверхности на плоскость . Тогда площадь куска поверхности определяется по формуле: Пример 3 Вычислить площадь той части поверхности , которая находится над прямоугольником, лежащим в плоскости и ограниченным прямыми , , , . Решение: (- коническая поверхность с вершиной в начале координат и осью симметрии ) 1) 2)
Тройной интеграл. Пусть в пространстве задана некоторая область , ограниченная замкнутой поверхностью . Пусть в области и на ее границе определена некоторая непрерывная функция . Разобьем область произвольным образом на области , обозначая через ее объем. В пределах каждой частной области выберем произвольную точку и обозначим через значения функции в этой точке. Поставим интегральную сумму вида (1) и будем неограниченно увеличивать число малых областей так, чтобы наибольший диаметр стремился к 0. Если функция непрерывна, то при этом будет существовать предел сумм (1). Этот предел, не зависящий ни от способа разбиения , ни от выбора точек , обозначается: тройной интеграл Если считать объемной плоскостью распределения вещества в области , то интеграл (2) дает массу всего вещества, заключенного в объеме . Сведение тройного интеграла к трехкратному. Предположим, что область , ограниченная замкнутой поверхностью , обладает следующими свойствами: 1) всякая прямая, параллельная оси , проведенная через внутреннюю точку области , пересекает поверхность в двух точках; 2) вся область проектируется на плоскость в правильную область ; 3) всякая часть области , отсеченная плоскостью, параллельной оной из координатных плоскостей , также обладает свойствами 1) и 2). Область , обладающая указанными свойствами находятся правильной трехмерной областью (эллипсоид, тетраэдр, прямоугольный параллелепипед и т. д.). Пусть функция определена и непрерывна в области Пусть область - проекция на плоскость . Тогда Чтобы найти пределы внутреннего интеграла, перенесем область прямой, параллельной оси : Точка входа этой прямой в область имеет аппликату , точка выхода из области имеет аппликату . Тогда Представив в виде двукратного интеграла, получим формулы: в виде двукратного интеграла, получим формулы: . Вычисление трехкратного интеграла начинают с внутреннего (по , считая и - постоянными) интеграла, затем переходят к среднему и наконец, к внешнему интегралу. Замечания: а) Пусть область есть проекция области на плоскость . Тогда , где , есть соотвественно ординаты точек входа и выхода прямой, пересекающей область и параллельной оси . или . б) Если наиболее очевидна проекция области на плоскость , то тройной интеграл следует представить в виде: и далее найти пределы трехкратного интеграла указанными способами.
Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 682; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |