Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Пример 4. Вычислить интеграл: , если




Вычислить интеграл: , если

Решение:

Запишем данный интеграл как повторный:

.

 

 

Основные свойства трехкратного интеграла.

Если область разбить на две области и плоскостью, параллельной какой-либо из плоскостей координат, то трехкратный интеграл по области равен сумме трехкратных интегралов по областям и . (При любом разбиении области на конечное число областей плоскостями, параллельными координатным плоскостям, имеет место равенство ).

(Теорема об оценке трехкратного интеграла)

Если и , соответственно, наименьшее и наибольшее значение функции в области , то имеет место неравенство:

Где есть объем данной области, а - трехкратный интеграл от функции по области .

(Теорема о среднем)

Трехкратный интеграл от непрерывной функции по области равен произведению его объема на значение функции в некоторой точке области , то есть

Замена переменных в тройном интеграле.

Пусть функции

Взаимно однозначно отображают область в декартовых координатах на область в криволинейных координатах . Пусть элемент объема области переходит в элемент области и пусть

.

Тогда

Аналогично тому, как это имело место в двойном интеграле

 

Тройной интеграл в цилиндрических координатах.

Декартовые координаты точки пространства связаны с ее цилиндрическими координатами следующими соотношениями:

, .

Таким образом в цилиндрических координатах первые две координаты есть не что иное как полярные координаты точки (точка проекция точки на плоскость ). Третья координата является аппликатой точки .

Переход цилиндрическим координатам в тройном интеграле целесообразен, очевидно, в тех случаях, когда область ограничена цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси , а направляющей цилиндрической поверхностью является любая кривая, уравнения которой достаточно просто выглядит в полярных координатах.

Найдем Якобиан:

=

Итак,

Определив пределы внутреннего интеграла по и представив в виде двукратного интеграла, получим

 

.

 

Тройной интеграл в сферических координатах.

Если точка в пространстве имеет прямоугольные координаты , то сферическими координатами точки называют тройку чисел , где -расстояние от точки до начала координат ;

- угол между лучом (точка - проекция точки на плоскость ) и осью ;

- угол между положительным направлением оси и лучом

Связь между декартовыми и сферическими координатами определяются соотношениями.




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 341; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.009 сек.