Поток векторного поля

Рассмотрим векторное поле, определенное векторной функцией , где функции , , непрерывны в некоторой области . Пусть - гладкая двухсторонняя поверхность, у которой выбрана сторона поверхности.

Определение:

Потоком П векторного поля через ориентированную поверхность называется поверхностный интеграл от скалярного произведения вектора и единичного вектора к этой поверхности:

Поток есть скалярная величина. Есть поверхность замкнутая, то обычно выбирается внешняя нормаль. Выясним физический смысл потока, если считать вектор вектором скорости несжимаемой жидкости, движущейся стационарно. В этом случае векторные линии являются линиями тока, и поток определяет объем жидкости, протекающей через поверхность в единицу времени. Если поверхность замкнутая, то поток вектора через нее дает разность между количествами жидкости, вытекающей из объема и втекающей в него в единицу времени.

Для вычисления потока надо найти единичный орт нормали к поверхности и свести нахождение поверхностного интеграла к вычислению двойного интеграла по проекции поверхности на одну из координатных плоскостей.

Пусть замкнутая поверхность взаимно однозначно проектируется в область плоскости . Тогда уравнение поверхности может быть задано в виде

или

Известно, что вектор направлен перпендикулярно к поверхности, и поэтому вектор можно найти по формуле:

Где знак зависит от выбранной стороны поверхности.

Следовательно, направляющие косинусы вектора будут равны:

, ,

Если , то в формулах берется знак + и, если , то знак -. Элемент площади этой поверхности с элементом площади проекции его связано формулой . Тогда по формуле:

Символ означает, что в подинтегральной функции вместо подставляется .

Если поверхность однозначно проектируется на плоскость или для вычисления потока пользуются аналогичными формулами:

,

где - проекция поверхности на плоскость , - проекция на плоскость .

Замечание 1 В случае, когда поверхность задана неявно уравнением . Единичный вектор нормали находится по формуле

где знак в правой части определяется выбором нормали поверхности .

Замечание 2 Если поверхность проектируется неоднозначно на координатную плоскость, то необходимо разбить ее на части так, чтобы для каждой из них выполнялось условие однозначности. тогда поток через всю поверхность можно представить в виде суммы через каждую поверхность в отдельности.

Дата добавления: 2014-01-04