Ряд Тейлора

Некоторые функции не могут быть разложены в ряд Маклорена, так как теряют смысл при . Например, , . Тогда пользуются разложениями в более общие степенные ряды:

, (32.7)

которые справедливы в некотором интервале .

Положим . Тогда ряд Маклорена (32.2) перепишется в виде:

, где .

Так как , то , , , …, . Подставим коэффициенты в (32.7):

. (32.8)

Ряд (32.8) называется рядом Тейлора.

Ограничиваясь конечным числом членов, получим многочлен Тейлора:

. (32.9)

Если ряд (32.8) сходится в некоторой окрестности точки и его сумма равна функции , то многочлен даёт приближённое представление функции в окрестности .

J Пример 32.2. 1) Разложить многочлен по степеням .

, , , при .

, , , , при .

.

2) Разложить функцию по возрастающим степеням .

, , , .

для . J

Дата добавления: 2014-01-04