Применение ряда Маклорена к разложению в степенные ряды некоторых функций

Ряд Маклорена

Лекция 32. Ряды Маклорена и Тейлора

Предположим, что функция может быть разложена в степенной ряд:

, (32.1)

причём интервал сходимости , где .

,

,

,

.

Полагаем и получаем: , , , , , ….

Отсюда , , , , , ….

Подставим в (32.1):

. (32.2)

Это формула Маклорена.

1) Разложение функции .

Для функции производные . Так как значения коэффициентов

,

то разложение имеет вид

. (32.3)

Общий член ряда , . Следовательно, степенной ряд сходится для любого x. Интервал сходимости .

2) Разложение функции .

Для производные , , , …. При

, , , , …,

поэтому

. (32.4)

Этот ряд сходится при любом x.

3) Разложение функции .

Для производные , , , …. При

, , , , …,

поэтому

. (32.5)

Этот ряд тоже сходится при любом x. Разложение (32.5) можно получить из разложения (32.4) почленным дифференцированием.

4) Разложение бинома Ньютона .

Для производные , , …, . Полагая , получим значения коэффициентов:

, , , …, .

Разложение имеет вид

. (32.6)

Найдём интервал сходимости ряда. Для этого последовательно определяем коэффициент при общем члене ряда , отношение коэффициентов соседних членов , радиус сходимости ряда . Таким образом, биномиальный ряд сходится внутри интервала и расходится вне его.

32.3. Применение ряда Маклорена к приближённым вычислениям

J Пример 32.1. 1) Вычислить . Для ряда (32.4) берём : с любой точностью. Значение определено с точностью до .

2) Вычислить . Преобразуем и по формуле (32.6) для биномиального ряда при , получим: .

J

Дата добавления: 2014-01-04