Связь поверхностных интегралов первого и второго рода

Учитывая, что проекции элемента поверхности S_i на координатные плоскости имеют вид S_i cosγ, S_i cosβ, S_i cosα, из (13.5) получим:

, (27.14)

где векторное поле , а - векторное поле единичных нормалей заданно-го направления в каждой точке поверхности. Следовательно, поверхностный интеграл 2-го рода (27.10) равен поверхностному интегралу 1-го рода (27.14). Эта формула предо-ставляет еще одну возможность вычисления поверхностного интеграла 2-го рода. Заметим, что при смене стороны поверхности меняют знак направляющие косинусы нормали, и, соответственно, интеграл в правой части равенства (27.14), который сам по себе, как поверхностный интеграл 1-го рода, от выбора стороны поверхности не зависит.

Пример. Рассмотрим интеграл , где S – внешняя сторона верхней половины сферы x ² + y ² + z ² = R ². Так как радиус сферы, проведенный в любую ее точку, можно считать нормалью к сфере в этой точке, единичный вектор нормали можно задать в виде п = . Тогда, используя формулу (27.14), получаем, что требуется вычислить поверхностный интеграл 1-го рода

(Область D – круг с центром в начале координат радиуса R).

Дата добавления: 2014-01-04