Понятие функции нескольких переменных

Лекция 34. Функции нескольких переменных

Во многих вопросах естествознания приходится иметь дело с функциями двух, трёх и более переменных.

J Пример 34.1. 1) Площадь треугольника , x – основание, y – высота треугольника. (область определения , ).

2) Уравнение сферы . Разрешим относительно z: , . Аппликата z точки верхней полусферы есть функция двух переменных – абсциссы x и ординаты y этой точки. Данная функция определена в круге .

3) Объём прямоугольного параллелепипеда с измерениями x, y, z есть функция трёх переменных, определённая в положительном октанте пространства Oxyz.

4) Величина силы притяжения F двух материальных точек, имеющих массы m и , занимающих соответственно положения и , согласно закона Ньютона равна , где k – некоторая постоянная (гравитационная постоянная). Следовательно, F есть функция шести переменных x, y, z, , , . J

☼ Замечание 34.1. Всякая функция от нескольких переменных становится функцией от меньшего числа переменных, если часть переменных зафиксировать, то есть придать постоянные значения.

Например, пусть мы имеем функцию от трёх переменных x, y, z. Если положить, что z сохраняет постоянное значение , то мы получим функцию от двух переменных x и y: . Далее, предполагая, что две переменные y и z сохраняют неизменные значения , , получим функцию от одной переменной x.

Таким образом, в разных вопросах, по желанию, функцию u можно рассматривать как функцию одной, двух, трёх переменных. Строго говоря, почти каждая физическая зависимость даёт нам пример функции весьма большого количества переменных. Но при изучении этой зависимости мы игнорируем часть несущественных факторов и тем самым ограничиваем число переменных, сводя его к минимуму.

Например, путь s, пройденный свободно падающим телом за время t, зависит от следующих переменных: t – время падения, Q – площадь поперечного сечения тела, – широта места падения, h – высота места падения над уровнем моря, p – давление воздуха, T – температура воздуха, – коэффициент вязкости воздуха и т. д. Так что мы должны написать . В первом приближении все переменные, кроме времени t, являются малосущественными. Игнорируя их, получим и , g – ускорение свободного падения. Если хотя бы частично учесть роль других переменных, то мы будем иметь формулы для s всё более и более точные, зависящие от всё более возрастающего числа переменных. ☼

34.2. Геометрическое изображение функций двух и трёх переменных

Дата добавления: 2014-01-04