Геометрическим изображением (графиком) функции двух переменных

(34.1)

является, вообще говоря, поверхность в пространстве Oxyz.

Пусть функция определена в некоторой области плоскости Oxy (рис. 34.1). Тогда каждой паре значений x и y из области соответствует по формуле (34.1) некоторое

значение z. Иными словами, каждой точке ставится в соответствие точка , принадлежащая графику функции и являющаяся концом перпендикуляра NM к плоскости Oxy . Если точка N занимает всевозможные положения, исчерпывающие область , то связанная с ней точка M, в общем случае, опишет в пространстве некоторую поверхность P, «нависающую» над областью . Наглядно можно представить себе, что P есть «крыша», построенная над площадкой . Поверхность P является геометрическим изображением функции (34.1). Геометрическое изображение функций трёх и большего числа переменных не имеют простого геометрического смысла.

Рис. 34.1.

В некоторых случаях можно получить наглядное представление о характере изменения функции, рассматривая её линии уровня (поверхности уровня), то есть линии (поверхности), где данная функция сохраняет постоянное значение.

Определение 34.1. Линией уровня (изокривой) функции называется множество всех точек плоскости Oxy, для которых данная функция имеет одно и то же значение.

Таким образом, уравнение линии уровня есть .

J Пример 34.2. Построить семейство линий уровня функции .

Давая z неотрицательные значения , получим семейство концентрических окружностей с центром в точке O (рис. 34.2). Построив эти линии, получим «карту поверхности» для данной функции с отмеченными высотами; z растёт вдоль каждого радиального направления. В пространстве Oxyz геометрический образ функции представляет собой гигантскую «яму» с круто растущими краями (рис. 34.3). Теоретически это параболоид вращения. J

Рис. 34.2.	Рис. 34.3.

Определение 34.2. Поверхностью уровня (изоповерхностью) функции называется множество всех точек пространства Oxyz, для которых данная функция имеет одно и то же значение.

Линии и поверхности уровня постоянно встречаются в физических вопросах. Например, соединив на карте поверхности Земли точки с одинаковой средней суточной температурой или одинаковым средним суточным давлением, получим соответственно изотермы и изобары.

Дата добавления: 2014-01-04