Непрерывность функции нескольких переменных

Пусть есть функция от двух переменных x и y. Совокупность значений будем называть точкой. Таким образом, z есть функция «точки».

Дадим переменной x приращение , оставляя переменную y неизменной. Тогда разность называется частным приращением функции по переменной x. Следовательно, .

Аналогично, – частное приращение функции по переменной y.

Полное приращение (или просто приращение) функции :

,

если обе переменные получили приращения и соответственно.

Естественно, рассматриваются лишь такие точки , , , , для которых функция имеет смысл, то есть определена.

☼ Замечание 34.2. Полное приращение функции, вообще говоря, не равно сумме частных приращений этой функции: . ☼

J Пример 34.3. Найти приращение функции , где x изменилось от 2 до 2,2, а y – от 1 до 0,9.

Переменные получают приращения и . Первоначальное значение функции , приращенное значение функции , откуда полное приращение функции . J

Аналогично определяются частные и полные приращения функции с числом переменных больше двух.

Определение 34.3. Функция называется непрерывной в точке , если:

1) функция определена в данной точке, и эта точка является предельной для области существования функции;

2) бесконечно малым приращениям и переменных x и y соответствует бесконечно малое приращение функции , то есть при любом способе стремления приращений и к нулю, для которых имеет смысл, выполнено условие:

. (34.2)

Для наглядности можно представить, что функция , непрерывная в точке , определена как в самой этой точке, так и в некоторой её окрестности, причём при достаточно малых по модулю и имеет место равенство (34.2).

Определение 34.4. Функция называется непрерывной в данной области, если эта функция непрерывна в каждой точке рассматриваемой области, то есть для каждой точки области имеем:

. (34.3)

Предполагаем, что смещённая точка принадлежит данной области и существует.

Таким образом, функция непрерывна тогда и только тогда, когда бесконечно малым приращениям её аргументов соответствует бесконечно малое приращение функции.

J Пример 34.4. Функция определена и непрерывна в треугольнике . J

☼ Замечание 34.3. Точки границы не являются внутренними точками. ☼

Из (34.3) следует, что

, (34.4)

где – бесконечно малая величина при , . Таким образом, если функция непрерывна, то её значения в двух бесконечно близких точках отличаются на бесконечно малую функцию. Положим , . При и имеем , и обратно. Тогда из формулы (34.3) получаем эквивалентное определение непрерывной функции:

.

Дата добавления: 2014-01-04