Определение Назовем линейным дифференциальным оператором

(33.10)

результат применения к функции у операций, задаваемых левой частью уравнения (33.9).

При этом уравнение (33.9) можно записать в виде L [ y ] = 0.

Свойства линейного дифференциального оператора

1) Постоянный множитель выносится за знак линейного оператора:

L [ cy ] = cL [ y ], так как (су)^{( i )} = cy ^{( i )}.

2) L [ y₁ + y₂ ] = L [ y₁ ] + L [ y₂ ].

Действительно, (у₁ + у₂)^{( i )} = y₁ ^{( i )} + y₂ ^{( i )}, откуда следует справедливость сформулированного свойства.

Следствие.

. (33.11)

Используя свойства линейного оператора, можно указать некоторые свойства решений линейного однородного уравнения (33.9).

Теорема 33.2 Если у₁ – решение уравнения (33.9), то и су₁, где с – произвольная постоянная, – тоже решение этого уравнения.

Доказательство. Если L [ y₁ ] = 0, то по свойству 1) линейного оператора L [ сy₁ ] = 0, что и требовалось доказать.

Теорема 33.3. Сумма у₁ + у₂ решений уравнения (33.9) тоже является решением этого уравнения.

Доказательство. Так как L [ y₁ ] = 0 и L [ y₂ ] = 0, по свойству 2) линейного оператора L [ y₁ + у₂ ] = L [ y₁ ] + L [ y₂ ] = 0, что доказывает утверждение теоремы.

Следствие теорем 33.2 и 33.3. Линейная комбинация решений уравнения (33.9) у₁, у₂,…,у_т с произвольными постоянными коэффициентами тоже является решением этого уравнения.

Если рассматривается линейное неоднородное уравнение (33.8), которое при можно записать в виде

(33.12)

или L [ y ] = f(x), то при непрерывности функций p_i (x) и f (x) оно имеет единственное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям (33.3).

Из свойств линейного оператора следуют свойства решений неоднородного линейного уравнения:

1) Сумма решения неоднородного уравнения (33.12) и решения у₁ соответствующего однородного уравнения (33.9) является решением неоднородного уравнения (33.12).

Доказательство. .

2) Если y_i – решение уравнения L [ y ] = f_i(x), то является решением уравнения , где α_i – постоянные (принцип суперпозиции или наложения).

Доказательство.

, что и требовалось доказать.

Линейная зависимость и независимость системы функций. Определитель Вронского, его свойства. Фундаментальная система решений однородного линейного дифференциального уравнения. Общее решение однородного уравнения

Определение Функции у₁(х), у₂(х),…, у_п(х) называются линейно зависимыми на некотором отрезке [ a,b ], если существуют такие числа α₁, α₂,…, α_п, хотя бы одно из которых не равно нулю, что

α₁у₁ + α₂у₂ + … + α_пу_п = 0 (34.1)

на рассматриваемом отрезке. Если же равенство (34.1) справедливо только при всех α_i= 0, функции у₁(х), у₂(х),…, у_п(х) называются линейно независимыми на отрезке [ a,b ].

Примеры.

1. Функции 1, x, x ², …, xⁿ линейно независимы на любом отрезке, так как равенство α₁ + α₂x + α₃x ² + … + α_n+1xⁿ = 0 справедливо только при всех α_i = 0. Иначе в левой части равенства стоял бы многочлен степени не выше п, который может обращаться в нуль не более, чем в п точках рассматриваемого отрезка.

2. Линейно независимой на любом отрезке является система функций . Если предположить, что эта система линейно зависима, то существуют такие числа α₁, α₂,…, α_п (пусть для определенности ), что . Разделим полученное равенство на и продифференцируем: . Проделав эту операцию п -1 раз, придем к равенству , что невозможно, так как по предположению .

3. Подобным образом можно доказать линейную независимость системы функций

Определение. Определитель вида

(34.2)

называется определителем Вронского системы функций у₁, у₂,…, у_п.

Теорема 34.1. Если функции у₁, у₂,…, у_п линейно зависимы на отрезке [ a,b ], то их определитель Вронского на этом отрезке тождественно равен нулю.

Доказательство.

Дифференцируя п -1 раз тождество α₁у₁ + α₂у₂ + … + α_пу_п = 0, где не все α_i = 0, получим линейную однородную систему относительно α₁, α₂,…, α_п:

которая по условию должна иметь нетривиальное решение при любом х из отрезка [ a,b ], а это возможно только в том случае, если главный определитель этой системы (см. правило Крамера) равен нулю. Поскольку этот главный определитель является определителем Вронского для выбранной системы функций, теорема доказана.

Теорема 34.2. Если линейно независимые функции у₁, у₂,…, у_п являются решениями линейного однородного уравнения (33.9) с непрерывными на отрезке [ a,b ] коэффициентами, то определитель Вронского для этих функций не может обратиться в нуль ни в одной точке отрезка [ a,b ].

Доказательство.

Пусть Выберем числа , не все равные нулю, так, чтобы удовлетворялась система уравнений

(34.3)

(Определитель этой системы, неизвестными в которой считаем , равен W(x₀) и, следовательно, равен нулю, поэтому система имеет ненулевое решение). Тогда по условию теоремы - решение уравнения (33.9) с нулевыми начальными условиями , что следует из системы (34.3). Очевидно, что этим условиям удовлетворяет нулевое решение:

, (34.4)

а по теореме существования и единственности это решение единственно. Но при этом из равенства (34.4) следует, что функции у₁, у₂,…, у_п линейно зависимы, что противоречит условиям теоремы. Следовательно, ни в одной точке отрезка [ a,b ].

Замечание. В теореме 34.2 важно, что функции у₁, у₂,…, у_п – решения уравнения (33.9). Для произвольной системы функций утверждение теоремы не справедливо.

Теорема 34.3. Общим решением на [ a,b ] уравнения (33.9) с непрерывными коэффициентами p_i является линейная комбинация

(34.5)

п линейно независимых на [ a,b ] частных решений y_i с произвольными постоянными коэффициентами.

Доказательство. Для доказательства теоремы с учетом теоремы существования и единственности достаточно показать, что можно подобрать постоянные c_i так, чтобы удовлетворялись произвольно заданные начальные условия:

, (34.6)

где х₀ – произвольная точка отрезка [ a,b ].

Подставив в равенства (34.6) выражение для у вида (34.5), получим линейную систему из п уравнений относительно неизвестных с₁, с₂,…, с_п:

, (34.7)

определителем которой является определитель Вронского для выбранных п линейно независимых решений рассматриваемого уравнения, который по теореме 33.5 не равен нулю. Следовательно, по правилу Крамера система имеет решение при любых правых частях. Теорема доказана.

Следствие. Максимальное число линейно независимых решений однородного уравнения (33.9) равно его порядку.

Определение. Любые п линейно независимых решений однородного линейного уравнения (33.9) называются его фундаментальной системой решений.

Таким образом, общее решение уравнения (33.9) является линейной комбинацией любой его фундаментальной системы решений.

Дата добавления: 2014-01-04