Уравнение прямой, проходящей через две точки: и

Прямая линия на плоскости

Уравнение линии в пространстве

Линию в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух поверхностей:

– уравнение поверхности

– уравнение поверхности

В параметрической форме уравнение линии:,

где - параметр.

Положение прямой линии на плоскости (или в пространстве) будет определено, если задана (.) Мо, через которую проходит данная прямая и радиус-вектор произвольной его точки (.) М.

Т.о. или, где –радиус-вектор произвольной (.)M; –радиус-вектор (.)M₀; – вектор, которому прямая параллельна, t- параметр. Данное уравнение называется векторным уравнением прямой. Если данное уравнение записать в проекциях на оси, то получим уравнение, которое называется параметрическим уравнением прямой:, где, t–параметр.

Рассмотрим прямую линию на плоскости: Здесь - фиксирована, - произвольная точка на этой прямой. Пусть вектор - направляющий вектор для этой прямой. Из условия:

Если задан направляющий вектор для прямой, то получаем каноническое уравнение: т.е.

Если задан нормальный вектор к прямой: общее уравнение прямой: из условия ортогональности прямой и нормального вектора: следует, что: где.

В качестве направляющего вектора можно использовать вектор, взятый на прямой:, где - произвольная фиксированная точка на этой прямой, тогда получаем соответствующее уравнение:.

Данное соотношение следует понимать и как равенство:, где в знаменателях находятся координаты направляющего вектора.

Пример 1: Даны координаты вершин треугольника::. Вывести уравнения: медианы, высоты и биссектрисы. Вектор,

Где:. Прямая, у которой вектор является направляющим, проходит через точку и является перпендикулярной к прямой с направляющим вектором, и тогда имеем общее уравнение этой прямой: или это уравнение прямой.

Определим уравнение медианы, т.е. прямой с направляющим вектором. Так как -является серединой отрезка, то координаты этой точки определяются известным образом:. Тогда уравнение медианы - есть уравнение прямой, проходящей через две точки: и точки: тогда по их известным координатам, получим: или общее уравнение:.

Найдём уравнение биссектрисы: пользуемся тем фактом, что диагональ ромба делит угол при его вершине пополам. Найдём векторы:.

.

Далее: Вектор, являющийся направляющим для прямой, есть вектор: или что тоже самое:. Тогда уравнение прямой, имеющей в качестве направляющего вектора, будет иметь уравнение биссектрисы: или общее уравнение:.

Пример 2: Найти расстояние от точки от прямой. Прямая уравнение прямой AB:, т.к. для этой прямой вектор является направляющим вектором. Или это уравнение в общем виде:. Найдём точку пересечения прямых и L: Для этого решим систему уравнений:. Решая её, получим:

Координаты точки. После чего определяем расстояние от до прямой L, т.е. длину отрезка AB:. Т.о. расстояние между данной точкой и известной прямой равно 3.

Дата добавления: 2014-01-04