Существует круг с центром в нулевой точке радиуса такой, что данный степенной ряд сходится (и притом абсолютно) внутри этого круга и расходится вне этого круга.

Чтобы это предложение было верным для любого степенного ряда, остаётся включить сюда ряды двух первых типов. В первом случае (область сходимости состоит из одной нулевой точки) нужно, очевидно, положить , а во втором случае (ряд сходится во всей плоскости) нужно положить .

Этот круг радиуса называют кругом сходимости степенного ряда, а число – его радиусом сходимости.

Согласно изложенному вся­кий степенной ряд имеет определённый радиус сходимости , при­чём . Что касается точе к, лежащих на окружности круга сходимости , то в одних из этих точек ряд может сходиться, в других расходиться.

Мы показали, что всякий степенной ряд (40.1.) имеет круг сходи­мости определённого радиуса , Задача, которую мы теперь поста­вим, состоит в том, чтобы определить радиус сходимости степенного ряда в зависимости от его коэффициентов. Полное решение этой задачи может быть дано с помощью понятия о наибольшем пределе последовательности действительных неотрицательных чисел, каковое мы и должны предварительно выяснить.

Дата добавления: 2014-01-04