Общие понятия и определения. Всероссийское Демократическое совещание

Всероссийское Демократическое совещание.

Сентября 1917 г. А.Ф. Керенский провозгласил Россию республикой.

До создания нового правительства власть перешла к «Совету пяти» (Директории):

• Министр-председатель Керенский,
• Министр иностранных дел Терещенко,
• Военный министр ген. А. И. Верховский,
• Министр почт и телеграфов Никитин.

Для решения вопроса об организации государственной власти 14 сентября 1917 г. в Петрограде было созвано Всероссийское демократическое совещание. На нем присутствовали 1582 делегата. Было решено, что будущее правительство должно быть ответственным перед представительным органом демократии - Предпарламентом, формируемым из числа депутатов Демократического совещания.

25 сентября было сформировано третье коалиционное правительство (в него вошли 6 кадетов, 1 эсер, 3 меньшевика, 2 "трудовика", 1 "независимый" и 2 военных специалиста):

• Министр-председатель А.Ф. Керенский (24.7-25.10)
• Военный министр А.И. Верховский (30.08- 20.10.1917)
• Министр вероисповеданий А.А. Карташов (5.8- 25.10)
• Министр внутренних дел А.М. Никитин (04.09-25.10)
• Министр государственного призрения Н.М. Кишкин (25.9-25.10)
• Министр земледелия С.Л. Маслов (3-25.10)
• Министр иностранных дел М.И. Терещенко (5.5-25.10)
• Министр народного просвещения С.С. Салазкин (8.9-25.10)
• Министр почт и телеграфов А.М. Никитин (25.7-25.10)
• Министр продовольствия С.Н. Прокопович (16.9 - 25.10)
• Министр путей сообщения А.В. Ливеровский (25.9 - 25.10)
• Министр торговли и промышленности А.И. Коновалов (25.9 - 25.10)
• Министр труда К.А. Гвоздев (2.9-25.10)
• Министр финансов М.В. Вернадский (2.9 - 25.10)
• Министр юстиции П.Н. Малянтович (25.9-25.10)
• Морской министр Д.Н. Вердеревский (30.8-25.10)

26 сентября правительство заявило о своем намерении стать "твердой властью".

2 октября Временное правительство утвердило положение о Предпарламенте, получившем наименование Временного Совета Российской Республики (предс. Н.Д. Авксентьев, заместитель председателя В.Д. Набоков). 7 октября, в первый день работы Предпарламента 53 депутата - большевика во главе с Троцким демонстративно покинули зал Совета республики.

Определение 1. Уравнение, содержащее хотя бы одну из производных у', у'', у''',… неизвестной функции у = у(х), называется дифференциальным уравнением для этой функции. Сама функция у и её аргумент х могут входить, а могут и не входить в дифференциальное уравнение. Порядок старшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком этого уравнения.

Таким образом,

F(х; у; у') = 0 (1)

- общий вид дифференциального уравнения первого порядка;

F(х; у; у'; у'') = 0 (2)

- общий вид дифференциального уравнения второго порядка, и т.д.

В соответствии со сказанным выше в уравнении первого порядка (1) обязательно наличие лишь у', а наличие х и у не обязательно. В уравнении второго порядка (2) обязательно наличие лишь у'', а наличие остальных его элементов х, у и у' не обязательно.

Определение 2. Решением (частным решением) дифференциального уравнения на некотором промежутке [a; b] оси ох называется функция, удовлетворяющая для всех х є [a;b] дифференциальному уравнению, то есть обращающая его в тождество (верное числовое равенство 0 = 0 ). Графики частных решений у = f(х) дифференциального уравнения называется его интегральными кривыми.

Например, функция у = х² является частным решением дифференциального уравнения первого порядка у'-2х = 0 для всех х от - ∞ до + ∞. А интегральной кривой, соответствующей данному частному решению, является парабола с уравнением у = х².

Определение 3. Решить дифференциальное уравнение (любого порядка) – это значит найти все его частные решения, то есть найти все функции у = f(х), удовлетворяющие этому уравнению. Формула, содержащая все (или почти все) частные решения дифференциального уравнения, называется его общим решением. Частные решения, не содержащиеся в общем решении, называются особыми решениями дифференциального уравнения.

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение у'-2х = 0.

Решение. Данное уравнение равносильно уравнению у' = 2х. Следовательно, все функции у, удовлетворяющие этому уравнению, являются первообразными для функции 2х. Но множество всех первообразных для данной функции – это неопределенный интеграл от неё. Поэтому все частные решения дифференциального уравнения у'-2х = 0 найдутся по формуле:

Формула у = х² + С представляет собой общее решение дифференциального уравнения у'-2х = 0. Эта формула содержит в себе множество функций (ибо С – неопределенная константа), и все эти функции - частные решения дифференциального уравнения у'-2х = 0. Особых решений у этого дифференциального уравнения нет. Интегральными кривыми данного дифференциального уравнения являются параболы у = х² + С (их бесконечно много). Все частные решения, входящие в общее решение у = х² + С, являются ими для всех х от - ∞ до + ∞.

А теперь сделаем следующее важное замечание. Функция у = f(х), являющаяся частным решением данного дифференциального уравнения, может быть им лишь для тех х, для которых определена и она, и все её производные, входящие в дифференциальное уравнение. Вносит свои ограничения и сама структура дифференциального уравнения (что-то в нем может находиться под корнем, что-то под логарифмом и т.д.). А так как у разных функций, вообще говоря, разные области определения (особенно с учетом областей определения их производных), то разные частные решения у = f(х) дифференциального уравнения удовлетворяют этому уравнению, вообще говоря, на разных числовых множествах оси ох.

Пример 2. Решить дифференциальное уравнение первого порядка уу' = х.

Решение. Проведем следующие тождественные преобразования:

Множество функций содержит в себе все частные решения дифференциального уравнения уу' = х. Таким образом, формула является общим решением этого уравнения. Особых решений у него нет.

А теперь проанализируем полученное общее решение уравнения у у' = х.

а) Если С >0, то и функции , и их производные

определены для любых Следовательно, при С >0 эти функции являются решениями дифференциального уравнения при любых х.

б) Если С =0, то получаем две функции , которые определены для любых Но вот производные у них существует для любых х, кроме точки х =0, что наглядно демонстрируют графики этих функций (см. рис.1(а) и 1 (б)).

Действительно, согласно геометрического смысла производной, производная функции связана касательной к графику функции. А такой касательной к графикам функций при х =0, очевидно, не существует. Поэтому функции является решениями дифференциального уравнения для всех х, кроме х =0.

в) Если С< 0, то –С=>0, и тогда получаем функции , которые определены лишь при х и при х , причем их производные определены строго при х>А и при х<-А. Поэтому функции являются решениями дифференциального уравнения лишь на интервалах х>А и х<-А. При изменении величины А меняются и эти интервалы.

Пример 3. Решить дифференциальное уравнения первого порядка .

Решение. Очевидно, что функция у= 0 является решениям (частным решением) данного дифференциального уравнения. Поищем возможные другие решения этого уравнения, когда . Для этого проведем следующие тождественные преобразования данного уравнения:

|разделим переменные х и у ||проинтегрируем обе части|

Функции (их бесчисленное множество), как и функция у =0, представляют собой частные решения дифференциального уравнения у'= ху² (убедитесь в этом, найдя у ' и подставив у и у' в это уравнение). У каждой из этих функций своя область определения, зависящая от величины константы С. В формуле содержатся все частные решения дифференциального уравнения у'= ху², кроме решения у = 0 (оно не получается по этой формуле ни при каком значении С). Таким образом, формула представляет собой общее решение дифференциального уравнения у'= ху². А у = 0 – особое решение этого уравнения. Заметим, что и интегральная кривая, соответствующая этому особому решению у =0 (ось ох) кардинально отличается от кривых .

В примерах (1)–(3) мы решили три различных дифференциальных уравнения первого порядка, и у каждого из них оказалось бесчисленное множество частных решений. Произошло это потому, что в процессе решения каждого из них мы применяли операцию интегрирования (операцию вычисления неопределенных интегралов). Интегрирование привело к появлению неопределенной константы интегрирования С, которая затем вошла в выражение для искомой функции у: у = у(х;С). Таким образом, мы получили множество частных решений дифференциального уравнения. Это множество включало в себя или все частные решения дифференциального уравнения (в примерах 1 и 2), или почти все (в примере 3). Поэтому это множество у = у(х;С) частных решений дифференциального уравнения представляло собой общее решение этого уравнения.

По такой схеме (интегрированием) находят общее решение любого дифференциального уравнения первого порядка F(х; у; у') = 0. Действительно, чтобы решить такое уравнение, то есть чтобы найти те функции у = f(х), которые ему удовлетворяют, нужно «вытащить» функцию у из-под знака её производной. А это как раз и делается с помощью процедуры интегрирования – процедуры, обратной дифференцированию.

Итак, схема получения общего решения любого дифференциального уравнения первого порядка такова:

|интегрируем уравнение| (3)

Отметим, что далеко не всегда удается получить общее решение дифференциального уравнения в явном виде, то есть в виде , когда у выражен через х и С. Зачастую общее решение получается в неявном виде , из которого выразить у через х и С не удается. Тогда его в таком неявном виде и оставляют.

Общее решение дифференцированного уравнения, в каком бы виде (явном, неявном) оно ни было получено, называют ещё общим интегралом дифференцированного уравнения.

Не факт, что в найденное общее решение (в общий интеграл) дифференцированного уравнения войдут все его частные решения (подтверждением этого служит пример 3). Те частные решения , ,… дифференциального уравнения, которые не войдут в его общее решение, будут его особыми решениями. Их тоже нужно найти (не потерять). В противном случае дифференциальное уравнение окажется решенным неполноценно.

В заключении укажем в каких задачах естествознания следует ожидать появления дифференциальных уравнений.

Так как решениями дифференциальных уравнений являются функции, а каждая функция в принципе описывает процесс изменения одной переменной при изменении другой переменной , то дифференциальные уравнения, по идее, должны широко встречаться в задачах по исследованию различного рода процессов (физических, химических, биологических, технологических, экономических, общественных, и т.д.).

Дата добавления: 2014-01-04