Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка

Упражнения

1. Решить дифференциальное уравнение .

Ответ: - общее решение.

2. Решить дифференциальное уравнение .

Ответ: - общее решение.

3. Решить дифференциальное уравнение .

Ответ: - общее решение; у =1 – особое решение.

Это - дифференциальные уравнения вида

(4)

Решение такого уравнения очевидно: всякая функция , удовлетворяющая этому уравнению, является первообразной для функции . А значит, любое частное решение этого уравнения может быть найдено в результате интегрирования функции :

(5)

Формула (5) представляет собой общее решение уравнения (4). Она содержит в себе все частные решения этого уравнения. Особых решений у уравнения (4) нет.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Это – дифференциальные уравнения вида

(6)

Решение таких уравнений производится по следующей схеме.

1) Сначала находим такие числовые значения , при которых

(7)

Функции являются, очевидно, частными решениями уравнения (6), ибо при подстановке каждой из них в это уравнение получим тождество 0=0.

2) Теперь находим все остальные решения уравнения (6), для которых . Делаем это по схеме:

| разделим выражения с х и у (разделим переменные х и у)) |

| интегрируем обе части |

(8)

Полученное равенство представляет собой общее решение уравнения (6) в неявном виде (его общий интеграл). Если в нем можно выразить , приводим его к явному виду.

Пример 4. Решить дифференциальное уравнение .

Решение. Данное уравнение – уравнение вида при и , то есть это уравнение с разделяющимися переменными. Решим его по изложенной выше схеме.

1) .

Итак, одно частное решение уравнения уже найдено: это функция .

2) Найдём по схеме (8) общее решение этого уравнения, содержащее все его остальные частные решения:

| разделяем переменные х и у |

| интегрируем обе части |

| неопределенную константу опять обозначим буквой С |

Последнее равенство и есть искомое общее решение в явном виде. Отметим, что при С =0 из него получается и найденное в пункте 1 частное решение . Таким образом, общее решение уравнения содержит все его частные решения.

Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка.

Это – дифференциальные уравнения вида

(9)

Такие уравнения сводятся к уравнениям (6) с разделяющимися переменными после введения новой известной функции . Действительно, пусть

тогда (10)

С учетом равенств (10) уравнение (9) примет вид:

(11)

А это - уравнение вида при и , то есть уравнение с разделяющимися переменными для новой неизвестной функции . Найдя все его решения , затем по формуле найдем и все решения исходного уравнения (9).

Пример 5. Решить дифференциальное уравнение первого порядка

Решение. Сначала убедимся в том, что это действительно дифференциальное уравнение первого порядка, а заодно и определим его тип:

Это – уравнение вида , то есть однородное дифференциальное уравнение первого порядка. Для его решения введем вместо новую известную функцию :

; тогда , а

С учетом этого наше дифференциальное уравнение примет вид:

.

Это – уравнение вида при и , то есть уравнение с разделяющимися переменными. Решим его по соответствующей таким уравнениям схеме.

1) .

Итак, одно частное решение уже найдено: это функция .

2) Найдем общее решение уравнения , содержащее все его остальные частные решения:

| разделяем переменные и |

| интегрируем обе части |

Это – общее решение уравнения . Заметим, что найдено в пункте 1 частное решение этого уравнения не получается из общего решения ни при каком значении С. Следовательно, – это особое решение указанного уравнения.

Ну а теперь, найдя все функции и учитывая, что , можем записать и все функции , то есть все решения исходного дифференциального уравнения:

- общее решение; – особое решение.

Дата добавления: 2014-01-04