Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Свойства степенных рядов




Теорема 41.2 (2-я теорема Абеля). Если R – радиус сходимости ряда (41.2) и этот ряд сходится при x = R, то он равномерно сходится на интервале (- R, R).

 

Доказательство.

знакоположительный ряд сходится по теореме 41.1. Следовательно, ряд (41.2) равномерно сходится в интервале [-ρ, ρ] по теореме 40.1. Из выбора ρ следует, что интервал равномерной сходимости – (- R, R), что и требовалось доказать.

 

Следствие 1. На всяком отрезке, целиком лежащем внутри интервала сходимости, сумма ряда (41.2) есть непрерывная функция.

Доказательство.

Члены ряда (41.2) являются непрерывными функциями, и ряд равномерно сходится на рассматриваемом отрезке. Тогда непрерывность его суммы следует из теоремы 40.2.

 

Следствие 2. Если пределы интегрирования α, β лежат внутри интервала сходимости степенного ряда, то интеграл от суммы ряда равен сумме интегралов от членов ряда:

(41.5)

Доказательство этого утверждения следует из теоремы 40.3.

 

Теорема 41.3. Если ряд (41.2) имеет интервал сходимости (- R, R), то ряд

φ(x) = a 1 + 2 a 2 x + 3 a 3 x ² +…+ nanxn- 1 +…, (41.6)

полученный почленным дифференцированием ряда (41.2), имеет тот же интервал сходимости (- R, R). При этом

φ΄(х) = s΄(x) при |x| < R, (41.7)

то есть внутри интервала сходимости производная от суммы степенного ряда равна сумме ряда, полученного его почленным дифференцированием.

Доказательство.

Выберем ρ: 0 < ρ < R и ζ: ρ < ζ < R. Тогда ряд сходится, следовательно, то есть Если |x| ≤ ρ, то

где Таким образом, члены ряда (41.6) по модулю меньше членов знакоположительного ряда , который сходится по признаку Даламбера:

то есть является мажорантой для ряда (41.6) при Поэтому ряд (41.6) равно-мерно сходится на [-ρ, ρ]. Следовательно, по теореме 40.4 верно равенство (41.7). Из выбора ρ следует, что ряд (41.6) сходится в любой внутренней точке интервала (- R, R).

Докажем, что вне этого интервала ряд (41.6) расходится. Действительно, если бы он сходился при x 1 > R, то, интегрируя его почленно на интервале (0, x 2), R < x 2 < x 1, мы получили бы, что ряд (41.2) сходится в точке х 2, что противоречит условию теоремы. Итак, теорема полностью доказана.

 

Замечание. Ряд (41.6) можно, в свою очередь, почленно дифференцировать и проделывать эту операцию сколько угодно раз.

 

Вывод: если степенной ряд сходится на интервале (- R, R), то его сумма представляет собой функцию, имеющую внутри интервала сходимости производные любого порядка, каждая из которых есть сумма ряда, полученного из исходного с помощью почленного дифференцирования соответствующее количество раз; при этом интервал сходимости для ряда из производных любого порядка есть (- R, R).

 

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 696; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.008 сек.