Свойства степенных рядов

Теорема 41.2 (2-я теорема Абеля). Если R – радиус сходимости ряда (41.2) и этот ряд сходится при x = R, то он равномерно сходится на интервале (- R, R).

Доказательство.

знакоположительный ряд сходится по теореме 41.1. Следовательно, ряд (41.2) равномерно сходится в интервале [-ρ, ρ] по теореме 40.1. Из выбора ρ следует, что интервал равномерной сходимости – (- R, R), что и требовалось доказать.

Следствие 1. На всяком отрезке, целиком лежащем внутри интервала сходимости, сумма ряда (41.2) есть непрерывная функция.

Доказательство.

Члены ряда (41.2) являются непрерывными функциями, и ряд равномерно сходится на рассматриваемом отрезке. Тогда непрерывность его суммы следует из теоремы 40.2.

Следствие 2. Если пределы интегрирования α, β лежат внутри интервала сходимости степенного ряда, то интеграл от суммы ряда равен сумме интегралов от членов ряда:

(41.5)

Доказательство этого утверждения следует из теоремы 40.3.

Теорема 41.3. Если ряд (41.2) имеет интервал сходимости (- R, R), то ряд

φ(x) = a ₁ + 2 a ₂ x + 3 a ₃ x ² +…+ na_nx^{n- 1} +…, (41.6)

полученный почленным дифференцированием ряда (41.2), имеет тот же интервал сходимости (- R, R). При этом

φ΄(х) = s΄(x) при |x| < R, (41.7)

то есть внутри интервала сходимости производная от суммы степенного ряда равна сумме ряда, полученного его почленным дифференцированием.

Доказательство.

Выберем ρ: 0 < ρ < R и ζ: ρ < ζ < R. Тогда ряд сходится, следовательно, то есть Если |x| ≤ ρ, то

где Таким образом, члены ряда (41.6) по модулю меньше членов знакоположительного ряда , который сходится по признаку Даламбера:

то есть является мажорантой для ряда (41.6) при Поэтому ряд (41.6) равно-мерно сходится на [-ρ, ρ]. Следовательно, по теореме 40.4 верно равенство (41.7). Из выбора ρ следует, что ряд (41.6) сходится в любой внутренней точке интервала (- R, R).

Докажем, что вне этого интервала ряд (41.6) расходится. Действительно, если бы он сходился при x ₁ > R, то, интегрируя его почленно на интервале (0, x ₂), R < x ₂ < x ₁, мы получили бы, что ряд (41.2) сходится в точке х ₂, что противоречит условию теоремы. Итак, теорема полностью доказана.

Замечание. Ряд (41.6) можно, в свою очередь, почленно дифференцировать и проделывать эту операцию сколько угодно раз.

Вывод: если степенной ряд сходится на интервале (- R, R), то его сумма представляет собой функцию, имеющую внутри интервала сходимости производные любого порядка, каждая из которых есть сумма ряда, полученного из исходного с помощью почленного дифференцирования соответствующее количество раз; при этом интервал сходимости для ряда из производных любого порядка есть (- R, R).

Дата добавления: 2014-01-04