Понятие дифференциала

Подобно производной понятие диф­ференциала для функций комплексного переменного с формальной стороны аналогично соответствующему понятию дифференциала функ­ции действительного переменного.

Вспомнив, что производная функции комплексного переменного в точке определяется как

,

имеем:

, (43. 3.)

где стремится к нулю вместе с . Из равенства (43. 3.) находим:

(43. 4.)

Последняя формула (43.4.) показывает, что бесконечно малое приращение функции есть сумма двух бесконечно малых величин: . Эти две бесконечно малые величины разной природы. Первая из них равна произведению на величину , не зависящую от , и при является бесконечно малой того же порядка, что и ; отношение же второй величины к , равное , стремится к нулю вместе с , т. е. второе слагаемое формулы (43. 4.) всегда есть беско­нечно малая величина высшего порядка относительно .

Первое слагаемое формулы (43.4.) называется линейной частью приращения , или, иначе, дифференциалом функции , и обозначается так:

(43.5.)

В частности, при из равенства (43.5.) находим: , т. е. дифференциал независимого переменного совпадает с его при­ращением. Заменяя в формуле (43.5.) через , получаем:

, (43.5а)

откуда

, (43.6.)

т. е. дифференциал функции равен произведению её производной на дифференциал независимого переменного; производная же равна отно­шению дифференциала функции к дифференциалу независимого пере­менного.

Формула (43.4.) получена в предположении, что функция в точке имеет конечную производную. Из этой формулы усматри­ваем, что при бесконечно малом тоже бесконечно мало, а это зна­чит, что данная функция непрерывна в точке , т. е. всякая функции, дифференцируемая в точке, необходимо непрерывна в этой точке.

Дата добавления: 2014-01-04