Сопряжённые гармонические функции

В дальнейшем мы убедимся в том, что функция, аналитическая в области , имеет производные всех порядков. В частности, для такой функции и . имеют непрерывные частные производные второго порядка в обла­сти . Посмотрим, как нужно выбирать и для того, чтобы функ­ция была аналитической в рассматриваемой области.

Дифференцируя первое из условий (C.-R.) относительно , а второе относительно , получим: ;

складывая эти равенства, имеем:

(43.10.)

Уравнение носит название уравнения Лапласа и всякая функция, удовлетворяющая этому уравнению, называется гармониче­ское. Итак, есть гармоническая функция в области . Покажем также, что и является гармонической функцией в области . Для этого нужно продифференцировать первое из равенств (C.-R.) отно­сительно , второе же относительно и вычесть результаты:

Однако, если взять за и две произвольные функции, гармо­нические в области , то не будет, вообще говоря, анали­тической функцией в этой области. Для того чтобы была функцией, аналитической в области , нужно, очевидно, поступить таким образом: взяв за одну из этих функций, например , произ­вольную гармоническую функцию, определить затем из уравнений

Заметим, что выражение

есть полный дифференциал, так как ; следовательно, опре­деляется квадратурами с точностью до произвольного постоянного слагаемого:

Так определяемая гармоническая функция называется сопряжённой с гармонической функцией .

Дата добавления: 2014-01-04