Дифференцирование степенных рядов

Как мы уже указы­вали, всякий многочлен является аналитической функцией во всей плоскости комплексного переменного. Покажем теперь, что всякий степенной ряд, по отношению к которому многочлен является лишь весьма частным случаем, представляет собой аналитическую функцию внутри круга сходимости, причём производная от этой функции может быть получена путём почленного дифференцирования степенного ряда. Заметим сначала, что ряд , полученный почленным дифференцированием данного ряда: , имеет тот же радиус сходимости, что и данный ряд. В самом деле,

откуда по формуле Коши-Адамара следует, что радиусы сходимости обоих рядов одинаковы. Пусть теперь – произвольная точка внутри круга сходимости. Опишем внутри того же круга окружность так, чтобы точка лежала внутри неё, и пусть – какая-либо другая точка, лежащая внутри этой окружности. Выражение можно представить в виде

Выбирая число настолько большим, чтобы cумма

была меньше , представим

в виде

Первая из фигурных скобок стремится к нулю, когда , и поэтому может быть cделана по модулю меньшей если только ле­жит в достаточно малой окрестности точки . Чтобы оценить модуль второй скобки, перейдём к модулям отдельных слагаемых и заменим и большим числом . Получим тогда, что этот модуль меньше, чем , т.е. меньше, чем .Точно так же, переходя от модуля суммы к сумме модулей и заменяя большим числом , получим, что модуль третьей фи­гурной скобки также меньше, чем . Итак, , если находится в достаточно малой окрестности точки откуда следует, что существует и равен , т.е.

Дата добавления: 2014-01-04