Лекция 44

Показательная функция. Функции тригонометрические и гиперболические.

Мы видели, что степенные ряды

сходятся абсолютно во всей плоскости комплексного переменного . Суммы таких рядов будут, как мы только что видели, функциями комплексного переменного , аналитическими во всей плоскости. Из анализа известно, что если принимает действи­тельные значения , то суммы этих рядов суть соответственно Условимся при любом комплексном значении суммы наших рядовобозначать соответственно через, т.е. положим:

Таким образом, мы определим три функции комплексного перемен­ного , аналитические во всей плоскости. Покажем, что известные в случае действительного свойства этих функций распространяются на случай любого комплексного .

Так, формула умножения показательной функции

(44.1.)

доказывается для любых комплексных и посредством умножения соответствующих рядов. Заметив, что

получаем:

Ряд, стоящий в правой части последнего равенства, получается из ряда для заменой на ; следовательно, его сумма равна , и формула (44.1.) доказана. Полагая в формуле, (44.1.) , найдём: ,

откуда

(44.2.)

Пользуясь формулой (44.2.), легко вывести формулу деления показа­тельной функции:

т.е.

(44.3.)

В действительной области тригонометрические функции не связаны с показательной функцией . Рассматривая эти функции в комплексной области, Эйлер установил замечательное со­отношение между ними:

(44.4.)

Для доказательства тождества (44.4.) заменим в ряде для букву через и соберём отдельно члены, не содержащие , и члены, со­держащие ; получим:

.

Заметив, что ряд, стоящий в скобках, выражает , а ряд, стоящий вне скобок, определяет , получаем тождество (44.4.); Так как ряд для содержит лишь чётные степени , а ряд, выражающий , – лишь нечётные степени , то имеем:

Заменяя в тождестве Эйлера (44.4.) на , получаем:

(44.4.а.)

Складывая тождества (44.4.) и (44.4.а.), находим:

(44.5.)

Вычитанием же их получаем:

(44.5.а.)

Эти формулы также носят имя Эйлера.

Пользуясь тождеством Эйлера, легко доказать, что показатель­ная функция имеет период . Действительно, с одной стороны, по формуле (44.1.) имеем: , с другой стороны, в силу тождества (44.4.) имеем: . Следовательно, получаем: , т. е. функция не изменяет своего значения при прибавлении к независимому переменному постоянного числа .

Наконец, пользуясь тождеством Эйлера, получаем так называемую показательную форму для представления любого комплексного числа: ,

Откуда

(44.6.)

Известные из тригонометрии формулы сложения и вычитания синуса и косинуса

(44.7.)

(44.8.)

распространяются и на комплексную область.

В самом деле, по формуле (44.1.) имеем: , откуда в силу тождества Эйлера получим:

(44.9.)

Изменяя в тождестве (44.9.) знаки у и , найдём:

. (44.10.)

Раскрывая скобки в равенствах (44.9.) и (44.10.) и складывая их между собой, получим:

;

вычитанием же равенств (44.9.) и (44.10.) найдём:

.

Итак, мы вывели формулы сложения для косинуса и синуса. Фор­мулы вычитания получатсяиз формул сложения заменой на . Наконец, полагая в формулах сложения , получим:

,

,

т.е. число есть период синуса и косинуса и в комплексной области;

полагай же в формуле косинуса разности (44.7.), найдём:

. (44.11.)

Таким образом, мы видим, что все формулы тригонометрии остаются в силе и для комплексной области.

Отметим ещё, что показательная функция не обращается в нуль нигде на плоскости. В самом деле, полагая , имеем:

, откуда следует, что модуль функ­ции равен . При любом действительном значении выражение не равно нулю, а следовательно,не может сделаться нулём.

Определим, наконец, все те точки плоскости, в которых и обращаются в нуль. В силу формулы (44.5.а.) равенство равносильно уравнению , или . Полагая , находим:

(44.12.)

В уравнении (44.12.) справа стоит единица, а слева – комплексное число, модуль которого равен , аргумент же . Следовательно, имеем: , где – целое число, откуда находим: , . Итак, нули будут: , где – любое целое число. Аналогично покажем, что все нули будут:, где – любое целое число.

Заметим, что для комплексных значений аргумента уже нельзя более утверждать, что и . В самом деле, на­пример, .

Согласно определению гиперболические синус и косинус будут:

(44.13.)

(44.14.)

Сравнивая формулы (44.13.) и (44.14.) соответственно с формулами (44.5.а.) и (44.5.), получим:

(44.15.)

(44.16)

Эти формулы показывают, что гиперболические синус и косинус могут быть выражены посредством круговых синуса и косинуса, если воспользоваться комплексными числами. Записав формулы (44.15.) и (44.16.) в виде

и полагая , имеем:

(44.16.)

Отсюда вытекает следующее: любое соотношение между триго­нометрическими функциями и переходит в соответствующее соотношение между гиперболическими функциями и , если в этом соотношении мы заменим через , a через .

Таким образом, параллельно формулам обычной тригонометрии мы получаем все формулы гиперболической тригонометрии.

Отметим ещё формулы дифференцирования введённых нами функ­ций. По доказанному в п. 6 этого параграфа производную от суммы степенного ряда можно получить, почленно дифференцируя степенной ряд, т. е.

, , , ,

.

Таким образом, формулы дифференцирования, установленные для действительных значений аргумента, остаются в силе и для комплекс­ных значений аргумента.

Дата добавления: 2014-01-04