Основные трансцендентные функции

.

Эти области можно выбирать так, чтобы они, не налегая друг на друга, заполнили собой всю плоскость (как это уже имеет место для указанных областей однолистности ). Такой выбор произве­ден на Рис.45.1. Каждая из изображенных здесь областей преобразуется посредством соответствующей функции в области, указанные на Рис.44.2. Обратно, если изменяется в одной из этих последних областей, то можно считать изменяющимся в любой из соответствующих областей Рис.45.1., благодаря чему можно было бы говорить не об одной, а об функциях, обратных функции , определённых в области , и о бесконечном множестве функций, обратных функциям и , определённых в областях и соответственно. Эти функции рассматриваются как различные' ветви, многозначных функций , причем первая из этих функций имеет ветвей {– значная функция), а последние две – бесконечное множество ветвей (бесконечнозначные функции). Чтобы фиксировать какую-либо из ветвей, достаточно лишь указать, в какой из областей Рис.45.1. должно изменяться . В соответствии с обозна­чениями на этой фигуре мы будем пока пользоваться следующими обозначениями для ветвей наших функций:

Рис.45.1.а.

Рис.45.1.б.

Рис.45.1.в.

Здесь, например, обозначает ту ветвь логарифма, значения которой падают внутрь полосы Рис.45.1.б.

Рис.45.2.а

Рис.45.2.б.

Необходимо иметь в виду, что понятие ветви тесно связано с определённым выбором областей однолистности. Так, для функции можно было бы брать области однолистности: представленные на Рис.45.2. а. Это – углы: заключённые между биссектрисами углов Рис.45.1.а. Если изменяется в любой из этих областей, то описывает одну и ту же область , изображённую на Рис.45.1.б. В самом деле, когда точка описывает луч ., то точка описывает, очевидно, луч ., и если меняется , то луч , вращаясь против часовой стрелки, пробегает всю область , в то время как соответствующий ему луч , вращаясь в том же направ­лении – от луча до луча пробегает всю область .

В области также может быть определена функция, обратная функции , и притом различными способами, сообразно различным областям . Иными словами, в области также могут быть определены ветвей функции . Если фиксировать одну из областей например , то мы получим одну определённую ветвь функции . При этом, когда находится в верхней полуплоскости , точка будет находиться внутри угла: , т.е. в части пло­скости, принадлежащей как области , так и области , а когда будет находиться в нижней полуплоскости , то точка будет находиться внутри угла: , т. е. в части плоскости , принадлежащей как области так и области .

А это значит, что рассматриваемая нами ветвь функции будет в части области (в верхней полуплоскости) совпадать с ранее опре­делённой ветвью , а в другой части области (в нижней полу­плоскости) будет совпадать с другой из ранее определённых ветвей, именно с . Итак, было бы неправильно рассматривать ветви одной и той же многозначной функции как отдельные функции; в нашем примере при изменившемся выборе областей однолистности две ветви и рассматривавшиеся сначала как раз­личные, определяют одну и ту же ветвь.

Мы установили наличие различных ветвей функций , и пользуясь понятием областей однолистности. К тому же результату легко прийти и иным путём. Так, полагая , выводим последовательно из уравнения :

,

откуда (имеется в виду арифметическое значение радикала) и . Придавая здесь значения , получим различных значений функции , соответствующих раз­личным ветвям этой многозначной функции:

Значения эти имеют один и тот же модуль; аргументыих представ­ляют арифметическую прогрессию с разностью . Очевидно,чтоточки по одной размещаются в областях Рис.45.1.,45.2.а.

Фиксируя какое-либо исходное значение радикала , заставим точку в плоскости описать некоторую замкнутую кри­вую. Если эта кривая не заключает внутри начала координат, то не­прерывно изменяющийся аргумент вернётся к прежнему значению, когда точка вновь примет исходное положение. Соответственно с этим и значение останется прежним. Не то будет, если точка в пло­скости опишет замкнутую кривую, заключающую внутри начало координат. После полного обхода аргумент либо увеличится на , когда обход делался против часовой стрелки, либо уменьшится на , когда обход делался по часовой стрелке. В соответствии с этим не­прерывно меняющееся по мере обхода значение в первом случае перейдёт от , во втором случае от полагать равным .

Повторяя обход, вокруг начала координат в том или в другом на­правлении достаточное количество раз, мы можем перейти от значе­ния к любому другому значению радикала в той же точке . Точка, обладающая тем свойством, что обход вокруг неё пе­реводит от одной ветви многозначной функции к другой ветви, называется точкой разветвления этой функции (или критической точкой}. Таким образом, точка является точкой разветвления для функции . Так как полный поворот на угол около начала координат в то же время является и полным поворотом около бесконечно удалённой точки (для лучшего уяснения этого факта следует вместо плоскости пред­ставить себе риманову сферу), то бесконечно удалённая точка также является точкой разветвления функции . Других точек разветвле­ния эта функция не имеет, так как обход в плоскости по любой кривой, не заключающей внутри начала координат, не изменяет зна­чения радикала. Заметим, что точка , в то время как точка делает полный оборот около начала координат, описывает незамкну­тую дугу, соединяющую точки (или ) двух соседних областей однолистности. Новому обороту (в прежнем направлении) соответствует движениеточки вдоль новой незамкнутой дуги и т. д. После оборотов точки около начала координат точка сделает один оборот около начала координат. В случае же, когда точка описывает замкнутую кривую, не содержащую внутри начала координат, то точка описывает также замкнутую кривую, не содержащую внутри начала координат. (На своём пути она может выходить из первоначальной области однолист­ности и побывать во всех остальных сколько угодно раз; в конце пути она займёт первоначальное положение.)

Переходя к функции , рассмотрим соотношение . Полагая здесь , получаем: , откуда

или (подразумевается действительное значение логарифма по­ложительного числа ), . Таким образом, .

Разным значениям соответствуют разные значения , таким обра­зом, мы имеем здесь бесконечное множество разных значений , соответствующих бесчисленным ветвям этой многозначной функции. Значения имеют одну и ту же действительную часть; коэффициенты при образуют арифметическую прогрессию с разностью . Оче­видно, что точки с аффиксами размещаются по одной во всех обла­стях Рис.45.1.б. Фиксируя какое-либо исходное значение заставим точку плоскости описать замкнутую кривую, начальной и исходной точкой которой является . Рассуждая, как и выше, при­дём к заключению, что точка , а также и точка явля­ются точками разветвления функции . Именно, если точка делает около начала координат оборотов, то значение пере­ходит в значение , когда обороты делаются против часовой стрелки, и в значение , когда обороты делаются по часовой стрелке. Таким образом, путём достаточного числа оборотов около начала координат, совершаемых в должном направлении, можно перейти от одного значения логарифма в точке к любому другому значению в той же точке.

Отличие от предыдущего случая заключается в том, что, произ­водя обороты вокруг начала координат в одном и том же направлении, мы никогда не вернёмся к исходному значению, но всегда будем получать новые. Это отличие характеризуют, говоря, что точка является для функции точкой разветвления конечного по­рядка, а именно порядка , в то время как для функции та же точка служит точкой разветвления бесконечного порядка. Гово­рят также, что в первом случае точка разветвления является алгебраи­ческой, а во втором –трансцендентной.

Определение 45.1. Трансцендентными называются аналитические функции, которые не являются алгебраическими.

Если аргументом показательной или тригонометрических функций является комплексное число, то определение этих функций, вводимое в элементарной алгебре теряет смысл.

Рассмотрим разложение в степенной ряд следующих функций:

Функции e^z, cosz, sinz связаны между собой формулой Эйлера. Эта формула может быть очень легко получена сложением соответствующих рядов.

Также справедливы равенства:

Для тригонометрических функций комплексного аргумента справедливы основные тригонометрические тождества (синус и косинус суммы, разности и т.д.), которые справедливы для функций действительного аргумента.

Определение 45.2. Гиперболическим синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом называются соответственно функции:

Гиперболические функции могут быть выражены через тригонометрические:

Гиперболические функции sh z и ch z имеют период 2pi, а функции th z и cth z – период pi.

Пример 45.1

Найти sin(1+2i).

Определение 45.3. Логарифмическая функция комплексного аргумента определяется как функция, обратная показательной.

Если w = u + iv, то и Arg e^w = = v.

Тогда e^u = .

Итого:

Для комплексного числа z = a + ib

Дата добавления: 2014-01-04