КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Определение 45.4. Выражение называется главным значением логарифма
Логарифмическая функция комплексного аргумента обладает следующими свойствами:
1)
2)
3)
4)
Обратные тригонометрические функции комплексного переменного имеют вид:
Других точек разветвления, кроме и , функция не имеет. Заметим, что если описывает замкнутую кривую вокруг начала координат, то точка описывает незамкнутую дугу, соединяющую точки и двух соседних областей однолистности функции . Сколько бы оборотов вокруг начала координат ни делала точка (в одном и том же направлении), соответствующая дуга, описываемая точкой , никогда не замкнётся (с каждым оборотом ордината точки увеличивается или уменьшается на . Если, же точка , описывает замкнутую кривую, не заключающую внутри точки , то точка , также описывает замкнутую кривую. Обратимся, наконец, к функции . Прежде всего из уравнения . Решая это уравнение относительно, получим: и далее . Так как произведение выражений равно ,то . Считая, что аргументы не превосходят : по абсолютной величине, мы получаем лишь две возможности: и , откуда следует, что оба аргумента либо неотрицательны, либо неположительные и что, по крайней мере, один из них не больше по абсолютной величине. Обозначая через то из чисел аргумент, которого не больше , получаем для другого значение , в соответствии с чем , откуда , либо .
Эти формулы можно объединить в одну: .
При наших обозначениях значение попадает внутрь области Рис.45.1.в. (или на границу её при ). Остальные точки располагаются по одной в областях , так что точки в соседних областях симметричны относительно точек . Можно проверить, подобно тому как это было сделано выше, что для функции точками разветвления будут точки . В самом деле, при обходе по какой-либо замкнутой кривой, заключающей внутри одну из точек -1 и +1 и не заключающей другой, выражение изменит знак (для.него каждая из точек -1 и +1 является точкой разветвления и притом первого порядка). Но это означает, что корень квадратного уравнения перейдёт, в и наоборот и, следовательно, перейдёт в , что соответствует переходу, от первоначальной точки к точке, симметричной ей относительно соответствующей точки . Если же описывает замкнутую кривую, заключающую внутри обе точки -1 и +1, что можно рассматривать как обход вокруг одной лишь точки , то аргумент выражения изменится на , вследствие чего изменится на , что соответствует сдвигу точки в направлении действительной оси на расстояние .
Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 283; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |