Признаки сравнения

Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов.

Определение: Знакопостоянный ряд – это такой ряд, все члены которого либо только положительные, либо только отрицательные числа.

При рассмотрении таких рядов достаточно рассмотреть только знакоположительные ряды, так как знак не влияет на вопрос о сходимости ряда.

Пусть даны два знакоположительных ряда: и , где при всех n.

Теорема 1: Если все члены первого ряда не превосходят соответствующих членов второго ряда: , то если сходится второй ряд, то сходится и первый.

Теорема 2: Если все члены первого ряда не меньше соответствующих членов второго ряда: , то если расходится второй ряд, то расходится и первый.

Теорема 3. Если существует и конечен и отличен от нуля, то оба ряда в отношении сходимости ведут себя одинаково.

В качестве ряда сравнения как правило берут:

Сходящиеся ряды	Расходящиеся ряды
, р>1 – обобщённый гармонический ряд	, 0<р<1
	- простой гармонический ряд
	- остаток гармонического ряда
- ряд геометрической прогрессии

Признак Даламбера. Если у знакоположительного ряда существует и конечен , то если , ряд сходится, если - расходится.

ПРИ ПРИЗНАК НЕ ДАЁТ ОТВЕТА НА ВОПРОС О СХОДИМОСТИ РЯДА.

Признак используют если содержит или их вариации.

Радикальный признак Коши. Если у знакоположительного ряда существует и конечен, то если , ряд сходится, если - расходится.

Признак используют если целиком является n – ой степенью некоторого выражения.

Интегральный признак Коши. Если функция непрерывная, положительная, убывающая при и , то ряд и несобственный интеграл одновременно сходятся или расходятся.

Признак используют если порождает функцию от которой можно без труда найти первообразную.

Дата добавления: 2014-01-04