Законы распределения

Характеристики:

Медиана ( 50-й процентиль, квантиль 0,5) — возможное значение признака, которое делит ранжированную совокупность (вариационный ряд выборки) на две равные части: 50 % «нижних» единиц ряда данных будут иметь значение признака не больше, чем медиана, а «верхние» 50 % — значения признака не меньше, чем медиана.

Мода — значение во множестве наблюдений, которое встречается наиболее часто

Математи́ческое ожида́ние — понятие среднего значения случайной величины в теории вероятностей. обозначается через M[X].

Диспе́рсия случа́йной величины́ — мера разброса данной случайной величины, т. е. её отклонения от математического ожидания. Обозначается D(X). Квадратный корень из дисперсии называется среднеквадрати́чным отклоне́нием, станда́ртным отклоне́нием или стандартным разбросом.

Коэффицие́нт асимметри́и — величина, характеризующая асимметрию распределения данной случайной величины. Обозначается

Коэффицие́нт эксце́сса в теории вероятностей — мера остроты пика распределения случайной величины. Обозначается . Он положителен, если пик распределения около математического ожидания острый, и отрицателен, если пик гладкий.

Энтропи́я (информационная) — мера хаотичности информации, неопределённость появления какого-либо символа первичного алфавита. При отсутствии информационных потерь численно равна количеству информации на символ передаваемого сообщения. Обозначается .

Производя́щая фу́нкция моме́нтов — способ задания вероятностных распределений. Используется чаще всего для вычисления моментов. Обозначается

Моме́нт случа́йной величины́ — числовая характеристика распределения данной случайной величины. Обозначается и

Характеристи́ческая фу́нкция случа́йной величины́ — один из способов задания распределения. Характеристические функции могут быть удобнее в тех случаях, когда, например, плотность или функция распределения имеют очень сложный вид. Также характеристические функции являются удобным инструментом для изучения вопросов слабой сходимости (сходимости по распределению). Обозначается

4.1. Нормальное распределение, также называемое распределением Гаусса (непрерывное) — распределение вероятностей, которое играет важнейшую роль во многих областях знаний, особенно в физике. Физическая величина подчиняется нормальному распределению, когда она подвержена влиянию огромного числа случайных помех. Ясно, что такая ситуация крайне распространена, поэтому можно сказать, что из всех распределений в природе чаще всего встречается именно нормальное распределение

Нормальное распределение характеризуется плотностью

Нормальное распределение зависит от двух параметров — смещения и масштаба, то есть является с математической точки зрения не одним распределением, а целым их семейством. Значения параметров соответствуют значениям среднего (математического ожидания) и разброса (стандартного отклонения

Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и стандартным отклонением 1.

normcdf – Закон нормального распределения

normpdf - Функция плотности нормального распределения

norminv - Обратная функция нормального распределения

normrnd - Генерация псевдослучайных величин по закону нормального распределения

normstat - оценка мат. ожидания и дисперсии по закону нормального распределения

Параметры	μ - коэффициент сдвига (вещественное число) σ > 0 – коэф. масштаба (вещ., строго положительный)
Носитель
Плотность Вероятности
Функция Распределения
Математическое ожидание
Медиана
Мода
Дисперсия
Коэффициент ассиметрии
Коэффициент эксцесса
Информационная энтропия
Производящая функция моментов
Характеристическая функция
Плотность вероятности Зеленая линия соответствует стандартному норм. распределению.	Функция распределения.

4.2. Равномерное распределение.(непрерывное)

Непреры́вное равноме́рное распределе́ние — в теории вероятностей распределение, характеризующееся тем, что вероятность любого интервала зависит только от его длины.

Случайная величина имеет непрерывное равномерное распределение на отрезке [a,b], где , если её плотность имеет вид:

unidcdf - закон дискретного равномерного распределения

unifcdf – закон непрерывного равномерного распределения

unidpdf – функция плотности дискретного равномерного распределения

unifpdf - функция плотности непрерывного равномерного распределения

unidinv – обратные функции распределения для дискретного равномерного распределения

unifinv - обратные функции распределения для непрерывного равномерного распределения

unidrnd – генерация случайных чисел для дискретного равномерного распределения

unifrnd - генерация случайных чисел для непрерывного равномерного распределения

unidstat - - оценка мат. ожидания и дисперсии для дискретного равномерного распределения

unifstat - - оценка мат. ожидания и дисперсии для непрерывного равномерного распределения

Параметры	a - коэффициент сдвига, b − a - коэффициент масштаба
Носитель
Плотность Вероятности
Функция Распределения
Математическое ожидание
Медиана
Мода	любое число из отрезка [a,b]
Дисперсия
Коэффициент ассиметрии
Коэффициент эксцесса
Информационная энтропия	ln(b − a)
Производящая функция моментов
Характеристическая функция
Плотность вероятности.	Функция распределения.

5.3. Биномиальное распределение (дискретное)

Пусть — конечная последовательность независимых случайных величин с распределением Бернулли, то есть

Построим случайную величину Y:

Тогда Y, число единиц (успехов) в последовательности , имеет биномиальное распределение с n степенями свободы и вероятностью «успеха» p. Пишем: . Её функция плотности вероятности задаётся формулой: ,

Биномиальное распределение в теории вероятностей — распределение количества «успехов» в последовательности из n независимых случайных экспериментов, таких что вероятность «успеха» в каждом из них равна p.

binocdf – Закон биномиального распределения

binopdf - функция плотности биномиального распределения

binoinv – обратная функция распределения

binornd – генерация псевдослучайных чисел

binostat –оцека мат. ожидания и дисперсии

Параметры	число «испытаний» — вероятность «успеха»
Носитель
Плотность Вероятности
Функция распределения
Математическое ожидание	np
Медиана	Одно из
Мода
Дисперсия	npq
Коэффициент ассиметрии
Коэффициент эксцесса
Информационная энтропия
Производящая функция моментов
Характеристическая функция

5.4. Распределение Пуассона

Выберем фиксированное число λ > 0 и определим дискретное распределение, задаваемое следующей функцией вероятности:

Тот факт, что случайная величина Y имеет распределение Пуассона с параметром λ, записывается :.

Распределение Пуассона моделирует случайную величину, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга. Распределение Пуассона играет ключевую роль в Теории массового обслуживания

poisscdf – закон распределения случайных величин по закону Пуассона

poisspdf – функция плотности

poissinv – обратная функция распределения

poissrnd – генерация псевдослучайных чисел по закону Пуассона

poisstat – оценка мат. ожидания и дисперсии по закону Пуассона

Параметры
Носитель
Функция вероятности
Функция распеделения
Математическое ожидание	λ
Медиана	N/A
Мода	[λ]
Дисперсия	λ
Коэффициент асимметрии
Коэффициент эксцесса
Информационная энтропия
Производящая функция моментов
Характеристическая функция
Функция вероятности	Функция распределения

Дата добавления: 2014-01-04