Уравнения в полных дифференциалах

Уравнение вида называется уравнением полных дифференциалов, если существует такая функция , что
В этом случае дифференциальное уравнение можно записать в виде , а его общий интеграл имеет вид .

В общем случае решение дифференциальных уравнений полных дифференциалов основано на следующей теореме

Теорема 46. Для того чтобы выражение , где функции , и их частные производные
непрерывны в некоторой области , было полным дифференциалом, необходимо и достаточно выполнение условия

Доказательство. Необходимость. Пусть – полный дифференциал, т. е.

. Так как
то

Дифференцируя последние равенства пои по соответственно, получим

Так как

то получаем требуемое равенство
Достаточность. Пусть выполняется условие
Покажем, что существует такая функция , для которой выполняется условие
Тогда Проинтегрируем первое равенство

Функция зависит или только от или является числом. Продифференцируем теперь это равенство по переменной

Отсюда
Левая часть этого равенства зависит только от функции . Покажем, что и правая часть зависит только от переменной . Продифференцируем правую часть равенства по переменной

Таким образом, левая часть равенства для

Приравнивая правые части последних равенств, получим , то

Продифференцировав равенство по , получим . По условию , то

Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет вид

Дата добавления: 2014-01-04