Уравнения, допускающие понижения порядков

Одним из методов решения дифференциальных уравнений высших порядков является понижение порядка. Существуют три основных типа дифференциальных уравнений, допускающих такое понижение.

1. Уравнение вида . Порядок этого уравнения можно понизить, обозначив

Решение. Обозначим , получим уравнение .

Решая которое, найдем .

Отсюда

2.Уравнение видапозволяет получить уравнение более низкого порядка.

Пример 117. Решить дифференциальное уравнение , тогда исходное уравнение примет вид 3.Уравнение видатак же позволяет получить уравнение более низкого порядка, чем исходное. Причем в этом случае

Пример 118. Решить дифференциальное уравнение . Тогда исходное уравнение примет вид Отсюда . Второе решение следует из уравнения с разделяющимися переменными

Таким образом

Отсюда

Или

В итоге получаем общий интеграл Выразив , окончательно получим

Дата добавления: 2014-01-04