Решение примеров

1. Найти производную второго порядка:

.

Сначала найдем производную первого порядка:

.

Теперь найдем производную от производной первого порядка. Это и будет производная второго порядка:

.

2. Найти производную третьего порядка:

,

Найдем производную первого порядка:

,

Теперь найдем производную второго порядка:

,

И наконец найдем производную от производной второго порядка, это будет производная третьего порядка:

.

3. Найти производную n -го порядка функции:

.

Находим производную первого порядка:

Теперь находим производную второго порядка:

.

Находим производною третьего порядка:

.

Находим производную четвертого порядка:

:

Тогда пятая производная имеет вид:

.

Замечая закономерность образования каждой производной, можно записать -ю производную:

4. .

Вычисления производных n -го проядка для различных функций

Дифференциалом n -го порядка функции f называется дифференциал от дифференциала (n - 1)-го порядка этой же функции. Таким образом,

dⁿf (x) = d (d^{n -1} f (x)), d ⁰ f (x) = f (x), n ϵ N.

Если x - независимая переменная, то

dx = const и d ² x = d ³ x =... = dⁿx = 0.

В этом случае справедлива формула

dⁿf (x) = f ⁽ⁿ⁾(x)(dx) ⁿ.

Формула Лейбница

Если u и v - n -кратно дифференцируемые функции, то

Дата добавления: 2014-01-04