Случайные события и их вероятности

Теория вероятностей — это наука о математических законо­мерностях случайных явлений. Речь идет о явлениях, наблюдения над которыми не всегда приводят к одним и тем же определенным результатам, но для которых при массовом повторении наблюде­ний проявляются закономерности в получении близких результа­тов. Опыт, эксперимент будем называть испытанием. Результат наблюдения (эксперимента) называют случайным событием. События обычно обозначают заглавными буквами латинского алфавита: А, В, С и т.д. Каждому случайному событию приписывается числовая характе­ристика Р(А), называемая вероятностью этого события и оценивающая «степень случайности». Таким образом, осуществляется переход от реальных, «физических», явлений к их абстрактным математическим моделям («вероятностным» моделям). Построе­ние вероятностных моделей и математический анализ закономер­ностей для Р(А) составляют основное содержание теории вероят­ностей.

Классификация событий. Действия над событиями.

Определение. Будем называть событие достоверным, если в результате испытания оно обязательно произойдет. Будем обозначать его буквой U.

Определение. Событие называется невозможным, если оно никогда не может произойти, при данном эксперименте. Оно обозначается буквой V.

Пример. Игральный кубик при подбрасывании обязательно упадет вниз - событие достоверное. Но выпадение 7 очков, при однократном бросании одной игральной кости – событие невозможное.

Определение. Событие, которое не будет достоверным или невозможным будем называть случайным событием.

Определение. Если появление одного события исключает появление другого, то говорят, что события несовместны.

Пример. При однократном броске игральной кости не может выпасть одновременно и 5 и 6 очков одновременно.

Допустим, что проводится некоторый эксперимент, и о его предполагаемом результате делается высказывание А. Например, если бросаются одновременно три монеты, то А может иметь вид: «из трех монет хотя бы одна упала гербом вверх». Составление высказываний подобного рода является первым этапом матема­тического описания случайных событий. Причем понятие «собы­тие произошло» отождествляется с истинностью высказывания А. Известно из курса математической логики, что над высказы­ваниями можно определить операции дизъюнкции, конъюнкции, импликации и эквиваленции. Проделывая такие операции, будем получать словесные описания «сложных» событий на основе описания «простых». В теории вероятностей на этот счет принята следующая терминология. Если А и В - случайные события, то их суммой А+В, произведением АВ, разностью А-В называются события, состоящие соответственно в том, что «происходит А или В», «А и В», «А и не В».

Суммой событий А+В называется событие, которое заключается в том, что произошло хотя бы одно из событий А или В. Не исключается и появление обоих событий.

Произведением событий АВ называется событие состоящее в том, что происходят и событие А и событие В.

Разностью событий А и В называется событие А-В, состоящее в том, что событие А происходит, а событие В не происходит. Разности событий соответствует разность множеств.

Событие называется событием, противоположным А. Оно состоит в том, что А не происходит.

Определение. Пусть число результатов эксперимента конечно. Если они попарно несовместны и в результате эксперимента одно из них обязательно появится, то будем говорить, что они образуют полную группу событий Ω.

К полной группе событий предъявляется требование равновозможности событий.

Пример. Полная группа событий при однократном броске игральной кости это выпадение 1,2,3,4,5 или 6 очков. Так при бросании игральной кости равновозможно появление любого количества очков от 1 до 6.

Пример. Выпадение герба и цифры – противоположные события.

Ясно, что А+Ā=U и AĀ= V.

Определение. Если в результате наступления события А обязательно наступает событие В, то говорят, что событие А благоприятно для В.

Пример. Так события «выпадение 2 очков», «выпадение 4 очков», «выпадение 6 очков» являются благоприятствующими для события «выпадение чётного количества очков».

Дата добавления: 2014-01-04