Геометрическое определение вероятности

Классическое определение вероятности.

Первая книга по теории вероятностей была издана Гюйгенсом в 1657 го­ду. Приведенное определение вероятности было дано Я. Бернулли в 1713 году. Но первой вероятностной задачей считается опубликованная в 1494 году итальянским математиком Л.Пачиолли следующая задача: два игрока договорились играть в кости до момента, когда одному из них удастся выиграть 3 партии. Но игра была прервана после того, как первый выиграл 2, а второй – 1 партию. Как справедливо разделить ставку? Пачиолли верного решения не нашел. Он предлагал разделить ставку в отношении 2:1, не учитывая числа партий, которые еще надо выиграть, чтобы получить всю ставку. Спустя почти 50 лет другой итальянский математик Д. Кардано (1501-1576) подверг рассуждения Пачиолли критике, но и сам предложил ошибочное решение. Через 100 с лишним лет в 1654 году задача была, наконец, решена в ходе переписки между двумя выдающимися французскими математиками Б. Паскалем (163-1662) и П. Ферма (1601-1665). Приведем решение Паскаля. Если бы игроки сыграли еще одну партию, то решение было бы очевидно: при выигрыше А ему досталась бы вся ставка (т.к. он выиграл уже три партии), при выигрыше В справедливо было бы разделить всю ставку пополам (т.к. у каждого по две выигранных партии). Возможности у этих исходов одинаковы. Таким образом, А может получить всю ставку или ее половину, в среднем (1+1/2):2=3/4 ставки; В может ничего не выиграть или выиграть половину ставки, т.е. в среднем (0+1/2):2=1/4 ставки. Поэтому ставка должна быть разделена в отношении 3:1 (а не 2:1, как предлагал Пачиолли).

Определение 2.1. (классическое). Пусть некоторый эксперимент имеет конечное, не равное нулю, число n попарно несовместных исходов. Допустим далее, что все элементарные события равновоз­можны в силу каких-то объективных не математических причин. Пусть событию А благоприятствуют m элементарных исходов. Тогда, по определению, вероятностью события А назовем число: . (2.1.)

Очевидны свойства вероятности Р(А), вытекающие из определения:

1. Р(A) ≥ О, Р(A) ≤ 1;

2. Р(U) = 1, Р(V) = 0;

Замечание. Классическое определение вероятности не требует того, чтобы испытания практически проводились, достаточно лишь посчитать теоретически число всех исходов и число благоприятных, а затем применить формулу. Но она может быть использована лишь в случае, когда все события равновозможны и образуют полную группу попарно несовместных событий.

Классическое определение вероятности неприменимо, если ло­гически возможных исходов эксперимента бесконечно много.

Определение (геометрическое). Пусть D – некоторая геометрическая фигура на плоскости, имеющая площадь S(D). B – её часть, имеющая площадь S(B). Какова вероятность, что случайно выбранная точка М из D принадлежит также и B (как говорят, «попадет в B»)? Если предположить, что вероят­ность попадания в произвольную часть D зависит только от площади этой части (причем прямо пропорционально) и не зависит от ее расположения в D, то естественно за эту веро­ятность принять, по определению, отношение площадей: (3.1.)

Замечание. Если множество Е всех исходов опыта есть подмножество одномерного или трехмерного пространства, то геометрическая вероятность вычисляется аналогично, только в определении фигурирует не площадь множества, а длина или объем.

Дата добавления: 2014-01-04